Re: M�ltiplos de 3

[Tonires Sales de M�b <tonires@xxxxxxxxxxxx>]

Uma solu��o menor!!

Mostre que a^3 -a  � multiplo de 3.
Solucao: Observe que a^3-a=a(a^2-1)=(a-1)a(a+1) e portanto um multiplo de 3.

Mostre que a^3-b^3 � multiplo de 3 sss a-b � multiplo de 3
Solu��o: Ora a^3-b^3=a^3-a+b-b^3+a-b, como a^3-a e b-b^3 j� s�o multiplos 
de 3, acabou.
Tonires



Tonires
At 01:12 27/03/01 -0300, you wrote:
>1) Mostre que a^3 - a � m�ltiplo de 3, para todo a inteiro.
>
>     Qualquer n�mero inteiro pode ser escrito nas formas 3x (quando for
>m�ltiplo de 3), 3x + 1 (o sucessor de 3x) ou 3x + 2 (sucessor de 3x + 1) -
>pois 3x + 3 seria 3(x+1), um n�mero escrito na forma 3b.
>     Substituindo esses n�meros na express�o:
>
>Numeros na forma 3x:
>(3x)^3 - 3x = 9x^3 - 3x = 3(3x^3 - x) - M�ltiplo de 3.
>
>Numeros na forma 3x + 1:
>(3x+1)^3 - (3x+1) = 27x^3 + 36x^2 + 9x + 1 - 3x - 1 = 27x^3 + 36x^2 + 6x =
>3(9x^3 + 12x^2 + 2x) - M�ltiplo de 3
>
>N�meros na forma 3x + 2:
>(3x+2)^3 - (3x+2) = 27x^3 + 54x^2 + 36x + 8 - 3x - 2 = 27x^3 + 54x^2 + 33x +
>6 = 3(9x^3 + 18x^2 + 11x + 2) - Tamb�m m�ltiplo de 3.
>
>Como vimos, substituindo tanto 3x, 3x+1 e 3x+2 em a^3 - a, obtemos m�ltiplos
>de 3, portanto, para todo a, a^3 - a � m�ltiplo de 3.
>
>2) Mostre quer a^3 - b^3 � m�ltiplo de 3 se, e somente se, a-b � m�ltiplo de
>3.
>
>a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 +ab + b^2)
>
>a^2 +ab + b^2 n�o � multiplo de 3 (estou com muito sono pra provar), assim
>(a - b) deve ser multiplo de 3. Para provar que a^2 + ab + b^2 pode-se usar
>a tecnica que usei na questao anterior (mas dah um trabalhinho).
>
>[]s
>David