Re: Múltiplos de 3

["David Ricardo" <david.pereira@xxxxxxxxxxxxx>]

1) Mostre que a^3 - a é múltiplo de 3, para todo a inteiro.

    Qualquer número inteiro pode ser escrito nas formas 3x (quando for
múltiplo de 3), 3x + 1 (o sucessor de 3x) ou 3x + 2 (sucessor de 3x + 1) -
pois 3x + 3 seria 3(x+1), um número escrito na forma 3b.
    Substituindo esses números na expressão:

Numeros na forma 3x:
(3x)^3 - 3x = 9x^3 - 3x = 3(3x^3 - x) - Múltiplo de 3.

Numeros na forma 3x + 1:
(3x+1)^3 - (3x+1) = 27x^3 + 36x^2 + 9x + 1 - 3x - 1 = 27x^3 + 36x^2 + 6x =
3(9x^3 + 12x^2 + 2x) - Múltiplo de 3

Números na forma 3x + 2:
(3x+2)^3 - (3x+2) = 27x^3 + 54x^2 + 36x + 8 - 3x - 2 = 27x^3 + 54x^2 + 33x +
6 = 3(9x^3 + 18x^2 + 11x + 2) - Também múltiplo de 3.

Como vimos, substituindo tanto 3x, 3x+1 e 3x+2 em a^3 - a, obtemos múltiplos
de 3, portanto, para todo a, a^3 - a é múltiplo de 3.

2) Mostre quer a^3 - b^3 é múltiplo de 3 se, e somente se, a-b é múltiplo de
3.

a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 +ab + b^2)

a^2 +ab + b^2 não é multiplo de 3 (estou com muito sono pra provar), assim
(a - b) deve ser multiplo de 3. Para provar que a^2 + ab + b^2 pode-se usar
a tecnica que usei na questao anterior (mas dah um trabalhinho).

[]s
David