Re: fatoracao ( correcao )

["josimat" <josimat@xxxxxxxxxxxxxxx>]

Olah Paulo e demais amigos da lista! Na tentativa de dirimir duvidas acerca
do enunciado do problema, descrevo abaixo como tudo comecou. O que o
problema pede eh uma formula, um algoritmo, uma simpatia ou uma oracao que
forneca o numero de modos de escrever um natural como produto de tres
naturais.

O problema surgiu quando um amigo me pediu para resolver o classico
problema:

Dois homens estavam conversando num bar, quando um virou para o outro e
disse:
Tenho tres filhas, a soma de suas idades eh igual ao numero da casa em
frente e o produto eh 36.
Posso determinar as idades de suas filhas apenas com esses dados?
Nao. Dar-lhe-ei um dado fundamental: minha filha mais velha toca piano.
Determine as idades das filhas e o numero da casa em frente.

Quando da resolucao, escrevi todas as 8 possibilidades de se obter produto
36, com tres numeros naturais:

1 x 1 x 36; 1 x 2 x 18; 1 x 3 x 12; 1 x 4 x 9; 1 x 6 x 6; 2 x 2 x 9; 2 x 3 x
6; 3 x 3 x 4.

Eu lhe disse que a as idades seguramente seriam inteiras, jah que a soma e o
produto eram inteiros. Entao, ele me perguntou se havia uma maneira de se
saber o numero de modos de se escrever um natural por meio do produto de
tres naturais. Eu lhe respondi que iria pensar. Depois de examinar alguns
casos cheguei (seguindo unicamente meu coracao) a uma conjectura, cuja
falside foi verificada pelo Prof. Morgado, apesar de ter funcionado bem para
uma grande quantidade de casos.

[]s, JOSIMAR


-----Mensagem original-----
De: Paulo Santa Rita <p_ssr@hotmail.com>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
Data: Segunda-feira, 5 de Março de 2001 10:38
Assunto: Re: fatoracao ( correcao )


>Estou corrigindo a mensagem abaixo
>
>>From: "Paulo Santa Rita" <p_ssr@hotmail.com>
>>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>Subject: Re: fatoracao
>>Date: Mon, 05 Mar 2001 05:52:47
>>
>>Ola Josimat e
>>demais Colegas da Lista.
>>
>>A pergunta abaixo, formulada pelo colega Josimat, me pareceu
>>interessante ate onde a entendi ... De fato: Suspeito que nao
>>estou entendendo-a inteiramente ou que a publicacao do colega
>>chegou truncada ...
>>
>>Suponho que o colega queira determinar, em funcao de um numero
>>natural N, a quantidade de maneiras de representar este numero
>>como um produto de tres fatores. E isso ?
>>
>>O exemplo que o colega deu sugere que a ordem dos fatores e
>>irrelevante ...
>>
>>Se for assim :
>>
>>1)O fator 1 (um) e meramente decorativo, prestando-se tao somente
>>para dar a todos os produtos com menos de tres fatores maiores que
>>a unidade a quantidade exata de tres fatores ?
>>
>>Neste caso, a expressao "REPRESENTACAO COM ATE TRES FATORES MAIORES
>>QUE A UNIDADE" seria uma interpretacao correta ...
>>
>>2)E - como sugere a mensagem - realmente uma funcao de N que se
>>procura ?
>>
>>Neste caso, salvo melhor juizo, uma resposta com funcoes elementares
parece
>>ser impraticavel ... Para ver isso, note que
>>
>>A) se N for primo entao:
>>
>>"N = N" e a unica representacao possivel. A resposta seria portanto
>>1 (um) para um numero primo.
>>
>>B) se N for um quadrado perfeito:
>>
>>Sejam X1,X2,...,Xn os expoentes dos fatores primos em que N se
>>decompoe. Entao, a quantidade de representacoes com dois fatores
>>seria :
>
>AQUI :
>
>>T2=(X1/2 + 1)*(X2/2 + 1)*...*(X3/2 + 1) - 1
>
>O CERTO E:
>
>T2=(X1/2 + 1)*(X2/2 + 1)*...*(Xn/2 + 1) - 1
>
>>A decomposicao de cada uma destas representacoes dara, numa mesma
>>logica, o total com tres fatores. A soma de tudo isso seria a resposta do
>>problema ... Mas ... FICARIAMOS NA DEPENDENCIA DOS EXPOENTES E
>>NENHUMA FUNCAO ELEMENTAR PODERIA EXPRESSAR O SOMATORIO FINAL.
>>
>>Pode ser que o que o colega quer e um algoritmo, o que tornaria o problema
>>bem mais simples, talvez trivial.
>>
>>A questao do colega e "sui generis", fugindo a formulacao burocratica
>>de que comumente se servem muitos problemas, suscitando assim, pelo
>>que penso, uma natural curiosidade... Mas os nossos "maravilhos" meios
>>eletronicos nao raro embaralham os enunciados, causando assim uma
>>ofensa a clareza, que, desde Descartes, e um ideal a ser perseguido em
>>todas
>>as comunicacoes cientificas ...
>>
>>"Em questoes transcendentes, seja trancendentalmente claro !"
>>Renne Descartes
>>
>>Um Abraco Josimat
>>Um Abraco a todos
>>
>>Paulo Santa Rita
>>2,0249,05032001
>>
>>
>>
>>>From: "josimat" <josimat@openlink.com.br>
>>>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>>To: "OBM" <obm-l@mat.puc-rio.br>
>>>Subject: fatoracao
>>>Date: Sun, 4 Mar 2001 12:26:48 -0300
>>>
>>>De quantos modos podemos escrever um numero natural como produto de tres
>>>numeros naturais?
>>>Exemplo:
>>>O numero 8 pode ser escrito de 3 formas (apenas):
>>>1 x 1 x 8
>>>1 x 2 x 4
>>>2 x 2 x 2
>>>
>>>[]s Josimar
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