Re: Ajuda urgente: cálculo do volume de um tanque.

[José Paulo Carneiro <jpqc@xxxxxxxxxxxxx>]

Pessoal.
Era exatamente este tipo de reflexoes que eu queria suscitar. So que, como
vieram do grande Ralph, ja estao na sua forma final. Colocacoes "to the
point".
Eu acrescentaria, para provocar mais a todos, o seguinte:
Desde Arquimedes (ou antes, de Eudoxo?) se calculam integrais, por metodos
relativamente proximos da definicao. O chamado "Teorema fundamental do
Calculo" (sec.XVII), que permite "calcular" certas integrais em "segundos",
sabendo de cor um primitiva (ou tendo uma tabela delas) eh sem duvida uma
grande invencao da humanidade.
Mas acho que o ensino do Calculo criou uma especie de expectativa de que
toda integral teeeeem de ser calculada desta forma. Dahi a pletora dos
"metodos de integracao", para tentar fazer as mais complicadas se moldarem a
tabela (o que alias tambem gera problemas divertidos).
Fica ainda na cabeca das pessoas que resolver "numericamente" uma integral
eh uma especie de vergonha, uma capitulacao do Departamento do Calculo
diante do Departamento de Calculo Numerico (que tal fundir estes 2
departamentos num so?).
Na verdade, como o Ralph demonstrou com os seus exemplos, isto eh ilusorio.
Eh apenas uma questao de saber de onde se parte.
Acho que estah em tempo de o ensino de Calculo (pelo memos em cursos de
Matematica) apresentar a integral como: 1) a medida de um "estoque"; 2) um
excelente instrumento para justificar "existencia" em matematica (como no
caso do logaritmo, citado pelo Ralph). E nao como aquela cobrinha sem
sentido que eh "o contario da derivada".
JP



JP



-----Mensagem Original-----
De: "Ralph Costa Teixeira" <ralph@visgraf.impa.br>
Para: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Enviada em: Sexta-feira, 2 de Março de 2001 00:25
Assunto: Re: Ajuda urgente: cálculo do volume de um tanque.


> Oi, Jose Paulo.
>
> O seu ponto eh valido. Na minha opiniao, nenhum problema terrivele em
> ficar com um problema numerico nas maos. A integral eh feia para
> resolver "no braco", mas nem sempre uma formula "fechadinha" (no caso
> aqui, sem integrais, usando soh as funcoes mais "comuns" como
> exponenciais, trigonometricas e aritmeticas) eh melhor do que uma que
> tenha um sinal de integral. Afinal, mesmo que a resposta fosse V=e^h,
> o calculo disso acaba sendo feito "numericamente" na hora de marcar o
> volume lah na escala do tanque. E esse calculo tambem envolve um erro
> numerico, assim como o da integral --  e ambos os erros podem ser bem
> controlados (dependendo do que estah dentro da integral).
>
> Ha de se lembrar que muitas das funcoes que a gente aceita facilmente
> podem muito bem ser consideradas como apelidos para integrais... Por
> exemplo, muita gente DEFINE a funcao log natural por
>
> ln x = INT (t=1 a t=x) 1/t dt
>
> e entao DEFINE e^x como a funcao inversa de ln x. Assim, tais funcoes
> nao seriam "melhores" que expressoes integrais...
>
> Talvez esse outro exemplo reforce o meu ponto: a nem tao conhecida
> funcao erf(x) eh definida como:
>
> erf(x) = 2/sqrt(Pi) INT (t=0 a t=x) e^(-t^2) dt
>
> Muita gente diria que a integral do lado direito "nao tem solucao".
> Mas, se voce conhece erf(x), a integral eh trivial. Se voce trabalhar
> bastante com a erf(x) e acostumar-se com suas propriedades, voce acaba
> aceitando-a tanto como e^x ou ln(x) ou cos(x) -- diga-se de passagem,
> a funcao erf de fato tem varias propriedades interessantes e aparece
> naturalmente em varios contextos, especialmente quando falando da
> distribuicao normal de probabilidade; suas tabelas sao bem conhecidas,
> seu comportamento eh bem entendido. Hoje em dia, se eu me deparo com
> uma resposta que tenha a integral de e^(-t^2) na expressao, eu me dou
> por satisfeito e considero o problema resolvido, mesmo que eu nao
> chegue a escrever erf(x) no lugar da integral.
>
> Assim, nao vejo nada de intrinsicamente terrivel na integracao
> numerica nao... Mas vejo como a minha mensagem anterior parece indicar
> isso. :) Eu eh que fiquei meio decepcionado de nao conseguir uma
> formula "fechadinha" para o problema... :) :) Uma das principais
> razoes da minha decepcao eh que o Software que eu costumo usar para
> gerar graficos nao consegue lidar automaticamente com a funcao
> definida via a integral (ele se confunde e acha que ha variaveis
> demais na expressao), mas conseguiria se eu arrumasse a tal formula
> fechadinha (bom, ele conhece erf(x), mas nao conhece aquela integral
> do volume do tanque). Talvez o Matlab consiga lidar com as duas formas
> igualmente? Nao sei...
>
> Abraco,
> Ralph
>
> José Paulo Carneiro wrote:
> >
> > Proponho que se rediscuta o conceito de integral feia. Qual eh o
problema de
> > calcular uma integral numericamente?
> > (So para provocar...)
> > JP
> >
>