Re: Ajuda urgente: cálculo do volume de um tanque.

[Ralph Costa Teixeira <ralph@xxxxxxxxxxxxxxx>]

	Oi todo mundo.

	Voltando ao problema do tanque deitado, as noticias nao sao nada boas
para o resto do problema. Acaba numa integral muito feia que eu creio
soh poder ser feita mesmo numericamente.


	I. O CILINDRO

	Na ultima mensagem eu disse que, se o nivel do liquido eh h a partir do
fundo de um cilindro de raio r e "comprimento" a (pois o cilindro estah
deitado), entao o volume do liquido lah dentro eh:

	V1 = a.r^2.  [Pi + (m-1)sqrt(m(2-m)) - arccos(m-1)]

	onde eu uso m=h/r para facilitar as coisas. Seria legal marcar o zero
da escala no centro do cilindro, isto eh, tomar h1 = h-r como variavel
ao inves de h. Assim, se m=h1/r

	V1 = a.r^2. [Pi + m.sqrt(1-m^2) - arccos(m)]

	Daqui por diante vou usar esta notacao, marcando h=0 no meio, e assim h
vai de -r a r. Quem nao gostar, troque h por h+r de volta. :)


	II. CADA UMA DAS CALOTAS

	Uma secao *horizontal* da calota esferica aa altura z (z=0 eh o plano
horizontal passando pelo centro da esfera) eh um segmento circular. Eu
peguei uma destas secoes HORIZONTAIS e desenhei-a aqui vista de cima,
preenchida com s's. O x marca o centro do circulo, R0 eh seu raio e d eh
a distancia entre o centro e o segmento que delimita o segmento
circular.

     |\
     |s\
     |ss\
  d  |sss|
x----|sss|
 \   |sss|
  \  |ss/
 R0\ |s/
    \|/

	Como a secao horizontal estah aa distancia |z| do centro da esfera,
temos R0=sqrt(R^2-z^2).

	Por outro lado, pode-se notar que d eh tambem a distancia do centro da
ESFERA (que nao eh necessariamente x! O centro da esfera estah na secao
horizontal z=0!) ao plano usado para corta-la em uma calota. Em outras
palavras, d=sqrt(R^2-r^2).

	Enfim, lembre-se que a area do segmento circular eh a area de um setor
circular menos um triangulo escolhidos a dedo... A formula eh:

	A = (R0)^2.arccos(d/R0) - d.sqrt(R0^2-d^2)

	Substitua R0 e d:

	A = (R^2-z^2).arccos(sqrt(R^2-r^2)/sqrt(R^2-z^2))
            - sqrt(R^2-r^2).sqrt(r^2-z^2)

	Agora voce teria que integrar isso de z=-r a z=h para achar o volume do
liquido. A segunda parte da integral (a segunda linha da area) eh facil
por substituicao, eh igual ao calculo feito para o cilindro. Tome de
novo m=h/r e fique com:

	V3 = -r^2.sqrt(R^2-r^2). [Pi + m.sqrt(1-m^2) - arccos m]

	A primeira parte eh pior ainda. Use z=R.cost, r/R=p e h/R=q para obter:
	
	V2 = R^3 INT(t = arccos(q)  a   t = Pi - arccos(p))
         (sint)^3 . arccos(sqrt(1-p^2)/sint) dt
	
	Ateh onde eu sei, esta integral nao pode ser resolvida analiticamente
(o arccos(K/sint) me faz acreditar nisto), a menos eh claro que p=1 (o
caso em que r=R, ou seja, em que as calotas sao de fato dois
hemisferios).

	Assim, a melhor opcao eh fazer um calculo numerico desta integral
usando os seus dados a=14500, r=500 e R=3142... Note que V2 depende de q
de maneira "simples". Ponha varios valores de q e faca uma tabela... :(


	III. JUNTANDO TUDO

	Em suma, pegue um computador e calcule as seguintes quantidades para
cada h desejado de -r a r:

	p=r/R; q=h/R; m=h/r=q/p;

DENTRO DO CILINDRO:
	V1 = a.r^2.[Pi + m.sqrt(1-m^2) - arccos m]

NAS CALOTAS:
	2V2 = R^3 INT(t = arccos(q); t = Pi - arccos(p))
         (sint)^3 . arccos(sqrt(1-p^2)/sint) dt

	(Resolva numericamente para o valor p fixo que voce tem e usando
diversos valores de q)

	2V3 = -r^2.sqrt(R^2-r^2). [Pi + m.sqrt(1-m^2) - arccos m]
	

	O volume que voce quer eh V1+2V2+2V3.

	Eu sei que a resposta parece um pouco decepcionante, mas espero que
tenha ajudado. As vezes eh mais facil fazer ao contrario: vah enchendo o
tanque com volumes conhecidos e marcando os valores de h para cada um,
montando assim a escala "experimentalmente"... Ou faca isso para um
tanque igual mas menor em escala... :)

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> >
> Nesse caso temos:
> a = 14500mm; r = 500mm; R = 3142mm;
> em que, a = comprimento do cilindro (não considerar as calotas, e sim apenas
> o cilindro plano nos lados); r = raio do cilindro; R = raio da calota até a