Re: Re: um pouco de física...

["Luis Lopes" <llopes@xxxxxxxxxxxxx>]

Sauda,c~oes,

>> "(...) A aceleração é a derivada da velocidade então sua equação pode ser
reescrita como
>>
>>
>> mg - kv = m dv/dt
>> o que, com um tremendo abuso pode ser reescrito como
>> dt = (m dv)/(mg - kv)"
>>

Vou mudar o abuso de lugar. Escrevo a equa,c~ao como (dv/dt=v')

v' + (k/m)v = g      (*)

Resolvendo (*) para a solu,c~ao particular (uma constante), supomos v=C.
Substituindo em (*), obtemos
(k/m)C=g e da'i C=mg/k.


Para a solu,c~ao homog^enea, temos a equa,c~ao caracter'istica (como uma
equa,c~ao em diferen,cas): x + (k/m) = 0 e da'i x = -k/m.

A soluç~ao v(t) ser'a  v(t) = mg/k + A exp(xt) . Como v(0)=0 (condi,c~ao
inicial) obtemos A = - mg/k.

Logo, v(t) = [1 - exp(-kt/m)]mg/k.

>Você pode pegar a resposta final e substituir na equação inicial
>e verificar que dá certo (mas quem garante que outra função também
>não daria certo?). Ou você pode aceitar este método como uma receita
>que dá certo e você não sabe bem por que.

[ ]'s
Lu'is


-----Mensagem Original-----
De: José Paulo Carneiro <jpqc@uninet.com.br>
Para: OBM (Lista) <obm-l@mat.puc-rio.br>
Enviada em: Sábado, 17 de Fevereiro de 2001 00:42
Assunto: Re: Re: um pouco de física...


Interpretando o metodo exposto pelo Nicolau como um expediente heuristico
para conjeturar a solucao, eh possivel, em seguida, mostrar que esta eh a
unica solucao, utilizando so conceitos elementares de Calculo.
Defina uma funcao u(t) por u=(mg/k - v). exp(kt/m), onde v eh uma solucao.
Derivando, constata-se que u(t)=0 para todo t real (fazer as contas!). Logo
existe uma constante A tal que (mg/k - v). exp(kt/m) = A, donde segue que
v=mg/k - A exp(-kt/m).
JP


-----Mensagem original-----
De: Nicolau C. Saldanha <nicolau@mat.puc-rio.br>
Para: Lista de Matemática <obm-l@mat.puc-rio.br>
Data: Sexta-feira, 16 de Fevereiro de 2001 15:03
Assunto: Re: Re: um pouco de física...


>
>
>On Thu, 11 Jan 2001, Bruno Mintz wrote:
>
>> Caro Nicolau,
>>
>> no mail anterior estava escrito:
>>
>> "(...) A aceleração é a derivada da velocidade então sua equação pode ser
reescrita como
>>
>>
>> mg - kv = m dv/dt
>> o que, com um tremendo abuso pode ser reescrito como
>> dt = (m dv)/(mg - kv)"
>>
>>
>> Fiquei curioso: por que "um tremendo abuso"? Afinal, a resposta dependeu
disso...
>
>Claro que o resultado dependeu disso, e foi por isso que eu avisei que ia
>usar matemática além de cálculo/física 1. Ou melhor, usaria matemática
>como alguns físicos usam (e são criticados pelos matemáticos por isso).
>
>O que são dv e dt sozinhos? Nada que seja definido em um curso de cálculo
1.
>O que é definido é o falso quociente dv/dt, que é uma derivada.
>Digo falso quociente pois a derivada não é propriamente um quociente,
>é na melhor das hipóteses o *limite* de um quociente.
>É verdade, por exemplo, que dz/dy = dz/dy * dy/dx mas isto
>não é um fato puramente algebrico (produto de frações)
>e sua demonstração rigorosa exige que reconsideremos as definições
>de limite e derivada. A explicação de que é verdade pois cortamos
>um dy com o outro é extremamente grosseira e não é de forma alguma
>uma demonstração, é na melhor das hipóteses uma idéia para guiar a
intuição.
>
>Mas voltando ao seu problema, passamos de
>
>mg - kv = m dv/dt                             (equação a)
>
>para
>
>dt = (m dv)/(mg - kv)                         (equação b)
>
>e depois integramos para obter
>
>\int dt = \int (m dv)/(mg - kv)               (equação c)
>
>onde \int deve ser lido como o sinal de integral:
>
>    /
>   /
>   |
>   |
>   /
>  /
>
>
>As equações (a) e (c) fazem sentido, a equação (b) não faz sentido nenhum
>(pelo menos não com o que se conhece de matemática no curso de cálculo 1).
>Mas queremos deduzir a equação (c) a partir de (a).
>E a minha apresentação a rigor não demonstra nada.
>
>As respostas que eu posso dar neste momento não são muito satisfatórias.
>Você pode pegar a resposta final e substituir na equação inicial
>e verificar que dá certo (mas quem garante que outra função também
>não daria certo?). Ou você pode aceitar este método como uma receita
>que dá certo e você não sabe bem por que.
>
>[]s, N.
>
>