Re: The Mathematical Tripos

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Mon, 5 Feb 2001, Luis Lopes wrote:

> Problema 2) The n-rowed determinant Delta_n is defined as
> 
> |  -2       1         0        0  ........  0 |
> |   1      -2         1        0  ........  0 |
> |   0       1        -2        1  ........  0 |
> |   0       0         1       -2  ........  0 |
> |   ..........................................    |  .
> |   ..........................................    |
> |   ..........................................    |
> |   0       0         0        0  ........ -2 |
> 
> By finding a linear relation between Delta_n,  Delta_{n-1} and
> Delta_{n-2} or otherwise, establish an explicit formula for Delta_n.

Só para tumultuar, vou fazer coisas com a matriz A_n acima
que não são as pedidas.

Quem são os autovetores de A_n?
Lembro que um autovetor de uma matriz A é um vetor não nulo v
com a propriedade de que Av = av para um escalar a;
neste caso a é chamado o autovalor associado a v.

Mas voltando, quem são os autovetores de A_n?
Se v_i são as coordenadas do candidato a autovetor então

a v_1  = -2 v_1 +  v_2
a v_2  =    v_1 - 2v_2 +  v_3
a v_3  =           v_2 - 2v_3 +  v_4
      ...
a v_n  =                                    v_{n-1} - 2 v_n

A coisa fica mais regular se introduzirmos v_0 = v_{n+1} = 0


a v_1  = v_0 -2 v_1 +  v_2
a v_2  =        v_1 - 2v_2 +  v_3
a v_3  =               v_2 - 2v_3 +  v_4
      ...
a v_n  =                                         v_{n-1} - 2 v_n +  v_{n+1}


E mais regular ainda se introduzirmos v_{n+2} = - v_n, v_{n+3} = - v_{n-1},...
v_{2n+1} = - v_1, v_{2n+2} = 0, ... e em geral
v_{-i} = - v_i, v_{i+2n+2} = v_i. Aí temos

a v_i = v_{i-1} - 2 v_i + v_{i+1}

ou

v_{i+1} = (a + 2) v_i - v_{i-1}

para todo i.

Esquecendo por um momento as periodicidades podemos resolver a recorrência
para encontrar

v_i = B b^i + C c^i

onde B e C são constantes e b e c são as raízes de x^2 - (a+2) x + 1 = 0.
Para que ocorra a (2n+2)-periodicidade devemos ter
b^{2n+2} = c^{2n+2} = 1 ou
b = cos(pi k/(n+1)) + I sen(pi k/(n+1))
c = cos(pi k/(n+1)) - I sen(pi k/(n+1))
para algum inteiro k, 1 <= k <= n, onde I = sqrt(-1).

É fácil ver que estes valores de b e c produzem autovalores e autovetores:

a = 2 cos(pi k/(n+1)) - 2, B = I/2, C = -I/2, v_i = sen(pi ki/(n+1)).

O determinante pedido é portanto o produto

Delta_n = Prod_{k = 1..n} (2 cos(pi k/(n+1)) - 2).

Eu sei que esta não é a resposta esperada, eu nem relacionei
Delta_n com Delta_{n-1} e Delta_{n-2} como foi sugerido.
Quem resolver da forma sugerida agora aprenderá uma identidade legal...

[]s, N.