Re: The Mathematical Tripos

["Luis Lopes" <llopes@xxxxxxxxxxxxx>]

Sauda,c~oes,

Pela solu,c~ao do Nicolau,

Delta_n = Prod_{k = 1..n} (2 cos(pi k/(n+1)) - 2).



                   |  -2       1         0        0  ........  0 |
                   |   1      -2         1        0  ........  0 |
                   |   0       1        -2        1  ........  0 |
Delta_n =  |   0       0         1       -2  ........  0 |
                   |   .............................................    |  .
                   |   .............................................    |
                   |   .............................................    |
                   |   0       0         0        0  ........ -2 |

Desenvolvendo Delta_n pela primeira linha, vem:

Delta_n = -2 Delta_{n-1} - Delta_{n-2}, com Delta_1 = -2 e
Delta_2 = 3.

Resolvendo a recorr^encia ou por indu,c~ao, segue-se que

Delta_n = (-1)^n (n+1).

Logo,

Delta_n = Prod_{k = 1..n} (2 cos(pi k/(n+1)) - 2) = (-1)^n (n+1),
para n=1,2, ... .

..................

É fácil ver que estes valores de b e c produzem autovalores e autovetores:

a = 2 cos(pi k/(n+1)) - 2, B = I/2, C = -I/2, v_i = sen(pi ki/(n+1)).

O determinante pedido é portanto o produto

Delta_n = Prod_{k = 1..n} (2 cos(pi k/(n+1)) - 2).

Eu sei que esta não é a resposta esperada, eu nem relacionei
Delta_n com Delta_{n-1} e Delta_{n-2} como foi sugerido.
Quem resolver da forma sugerida agora aprenderá uma identidade legal...

[]s, N.