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Uma soma interessante



Sauda,c~oes,
 
Este problema já foi resolvido por indu,c~ao e por decomposi,c~ao em fra,c~oes parciais j'a que
 
f(k) =  1/[(2k-1)(2k+1)]  =  1/2 (  1/(2k-1) - 1/(2k+1) )  .
 
Vou apresentar uma outra maneira: seja F(k) uma antidiferen,ca de f(k). Como
 
f(k) = 1 / [ 4(k-1/2)(k+1/2) ] = [1/4] ( k - 3/2 )^-(2) ,
 
ent~ao
 
F(k) = -[1/4] ( k - 3/2 )^-(1) = -1 / 4(k - 1/2) .
 
E a soma f(1) + f(2) + ... f(n) 'e dada por F(n+1) - F(1) = n / [2n+1].
 
[ ]'s
Lu'is
 
-----Mensagem Original-----
De: josimat
Para: OBM
Enviada em: Sábado, 20 de Janeiro de 2001 12:08
Assunto: Re: Uma soma interessante

Um boa maneira de resolver este problema é reparar que
 
1/(1*3)+1/(3*5)+...+1/[(2n-1)*(2n+1)]=(1/2)*[1/1-1/3+1/3-1/5+1/5-1/7+1/7-1/9+...+1/(2n-1)-1/(2n+1)]
 
cancelando os simétricos, ficaremos com 1/2[(1-1/(2n+1)], que tende a 1/2 quando n cresce muito.
 
[]'s JOSIMAR
-----Mensagem original-----
De: Carlos Victor <cavictor@uol.com.br>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>; Lista da OBM <obm-l@mat.puc-rio.br>
Data: Quinta-feira, 18 de Janeiro de 2001 13:38
Assunto: Re: Uma soma interessante

Oi  Daniel ,

Pense   no  seguinte :  1/[(2k-1)(2k+1)]  =  1/2 (  1/(2k-1) - 1/(2k+1) )  daí   conclua  que   a soma  será :

n/(2n+1)  e n  crescendo  teremos   n /(2n+1) = 1/2( 1 -  1/(2n+1) )   o valor  1/2  como  limite , ok ?

Abraços , Carlos  Victor





At 10:55 18/1/2001 -0300, Daniel wrote:
                Estava terminando de fazer os exercícios do livro fundamentos de mat. elementar vol 6, quando me deparei com uma questão que não consegui fazer, é o seguinte:

(1/1*3)+(1/3*5)+(1/5*7) +(1/7*9) + ...+ 1/[(2n-1)(2n+1)] + ...

            Alguém tem idéia de com faz, não vale olhar a página de respostas!

                                                Daniel