Re: Problema dos nº do quadro

Outro comentário a respeito do problema do quadro:

Proceder conforme o enunciado até que se tenha um único número é equivalente a separar os 100 números em dois grupos G e G' tais que S(G) - S(G') = 1 [onde S(G) é o somatório dos números de G] e isto não é possível, visto que 1+2+3+...+100=5050 (já dizia Gauss), que é par e portanto não pode ser decomposto em duas parcelas de valores consecutivos: uma par e outra ímpar.

Vou tentar novamente: imagige todos os números escritos, em seqüência no quandro e você deve colocar entre eles sinais de + ou de -, de tal forma que obtenha soma algébrica 1. Ora, isto não é possível, né?

Anteriormente escrevi:

# ----> número(s)

Inicialmente temos 50 # pares e 50 # ímpares.

1 - se a e b forem ímpares, a-b será PAR. Logo, a quantidade de # ímpares diminuirá de 2.

2 - se a e b forem pares, a-b será PAR. Logo, a quantidade de # ímpares não será alterada.

3 - se ou a ou b for par, a-b será ÍMPAR. Logo a quantidade de # ímpares não será alterada.

Portanto a quantidade de'# ímpares só decrescerá de dois em dois, logo, não teremos uma quantidade ímpar de # ímpares.

[]'s JOSIMAR

-----Mensagem original-----
De: Marcelo Ferreira <marcafi@zaz.com.br>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
Data: Sexta-feira, 19 de Janeiro de 2001 01:18
Assunto: Re: Problema dos nº do quadro

Caro Daniel,

A principio nao vi erro no seu raciocionio, mas no entanto o que vc fez nao serve para provar o desejado, isto e , que nao se pode obter o 1 como resultado final, pois vc provou que o resultado não era valido numa situacao particular. Acredito que a soluçao enviada pelo Josimat esteja correta. De uma olhada.

Abracos, Marcelo.

----- Original Message -----

From: Daniel

To: obm-l@mat.puc-rio.br

Sent: Thursday, January 18, 2001 9:13 PM

Subject: Problema dos nº do quadro

Marcelo Ferreira wrote:

      Para quem quiser pensar, segue o problema abaixo:

        Escrevemos em um quadro negro os números inteiros de 1 a 100.

        Depois escolhemos dois números a e b escritos no quadro, apagamos a e b e escrevemos a-b (agora há 99 inteiros escritos no quadro).

        Repetimos este processo até que haja um único inteiro escrito no quadro. Prove que este
inteiro nunca pode ser igual a 1.

                                ********************

        Achei uma solução, porém não tenho certeza se seria aceita em uma obm, mas aí vai:

        Para o último nº ser 1, devem sobrar dois nº consecultivos no final de todas as operações.

        Para que isso acontece, forçarei esta situação, escolhendo dois nº consecultivos ao acaos (1 e2) e fazendo com que não participem das operações.

        Por fim devo fazer com que os 98 outros nº após operações de subtração somem zero.

        O jeito mais simples é agrupar os apares de consecutivos e sobtrair um do outro.

        Ex:

        4-3 / 6-5 ....

        Sobram 49 algarismos 1.

        Agrupando-os dois a dois novamente e subtraindo-os para que se obtenha zeros, observa-se que sobra um algarismo 1, logo há no quadro negro:



            1 2 1



          Como não existe modo de obter-se o algarismo 1 subrtaindo esses nº, fica provado que não pode restar 1 escrito no quadro.

                                         ********

            Este raciocínio está correto?

                                                        Daniel