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Re: um bom problema




Oi  Josimar ,

Fazendo   N = nx + my , com mdc(m,n ) dividindo N , teremos  para  solução :

x = tN - mk   e  y = nk - sN  ; onde s  e t  são  inteiros positivos tais  que : nt = ms + 1 . Devemos  encontrar

o maior  N  tal que não  seja  possível escrever  :  sN/n < k < tN/m  ou  seja   sN/n = a + b   e 

tN/m = a + c , com   a  inteiro positivo , 0< b < 1  , 0< c < 1 e  b<c . Observe  que  0 < mc < m   e

0 < nb < n   e   a = mcs - nbt ; tomando   nb = 1  e  mc = m - 1  encontramos  a = sm - s - t   e,

consequentemente teremos  sN  = na + nb = nsm  - ns - nt + 1 = nsm - ns - ms ; ou  seja 

N = nm - n - m  = m( n - 1 ) - n  , que é  o valor  encontrado . Vejamos  agora o fato  deste  N  ser  o

máximo : observe  que    tN = ma +  mc  =  m [ mc( s +1/m) - nbt ]  ou  seja  tn  será  máximo  quando

tivermos  mc = m - 1  e nb = 1 , já  que  temos  dentro  dos  colchetes  uma  diferença  e  os  valores  de s

t  estão  amarrados  em nt = ms + 1 .

Está  correta  esta  conclusão  ?


Abraços  ,  Carlos  Victor




At 18:15 21/1/2001 -0200, josimat wrote:
Mais uma vez, obrigado Carlos Vitor!
Meu amigo Luís Lopes, também membro desta lista, chegou à seguinte conjectura:
 
Z = (n 1) m n, onde "n" e "m" são os valores monetários das moedas. O que dá Z = 59.
 
Alguém se emociona com isso o suficiente a ponto de fazer algum comentário?
 
[]s Josimar
-----Mensagem original-----
De: Carlos Victor <cavictor@uol.com.br>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>; OBM <obm-l@mat.puc-rio.br>
Data: Domingo, 21 de Janeiro de 2001 01:50
Assunto: Re: um bom problema


Oi  Josimar ,

Verifique   se  a idéia  abaixo  está  correta .

Seja  N = 11x + 7y ; como   7  e  11  são  primos  entre  si  , encontramos para  solução geral :

x = 2N - 7k   e  y  =  11k - 3N . Devemos   encontrar  o  maior  N  tal que  não  seja  possível  escrever

 3N/11< k < 2N/7 e , isto  ocorrerá  quando  tivermos  as partes  inteiras  de 3N/11  e 2N/7  iguais e,

evidentemente não  devemos  ter  3N/11 e  2N/7  sendo  inteiros ; pois  teremos  x= 0 ou y =0 ; portanto :

3N/11 = a  +b   e  2N/7 = a + c  , com a  inteiro positivo , 0< b < 1  , 0< c < 1 e  b<c . Observe  que 

3N = 11a + 11b  ;  2N = 7a + 7c  ;  a = 21c - 22b ;  7c = 1,2,3,4,5,ou 6 . Já  que   a> 0 , teremos  

22b < 21c  ou  seja  11b = 1 , 2 , 3 , 4  ,  5 , 6, 7 , 8 ou 9. Podemos  verificar também   que N < 77 ,

e  que  a  <  16  . Para  a =16  e  11b = 1   encontramos   N = 59   , que é  o valor  máximo  para N .

Confere  as  contas  , ok ?

Abraços , Carlos  Victor





At 12:10 20/1/2001 -0200, josimat wrote:

Olá amigos da lista, gostaria de saber se alguém tentou resolver o problema da minha mensagem "paralelogramo". Gostaria também de ver aqui resoluções do seguinte problema.
  1. Um governante louco decide apenas emitir duas moedas de valores diferentes: uma de 7 unidades monetárias e outra de 11. Assim, somas como 15 unidades não podem ser obtidas de maneira exata. Qual é a maior quantia que não pode ser paga com qualquer combinação das duas moedas?
[]'s JOSIMAR