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Na realidade, esta conta que indiquei (e nao fiz) conduz
(agora fiz) apenas a algo
que eh interessante em si mesmo, a saber, uma formula do termo
geral da seq.
de Fibonacci em terms de numeros combinatorios:
F(n) = [C(n;1) + 5 C(n;3) + 5^2 C(n;5) + ...]/
2^(n-1)
Mas nao responde a pergunta do Rodrigo.
Para isto, o LL ja deu solucao. Mas tambem se pode fazer o
seguinte:
Sendo S(n) a soma de C(n-k;k) para k de 0 ateh a parte inteira
de n/2,
use a relacao de Stiefel C(n;p) + C(n;p+1) = C(n+1;p+1)
para mostrar que
S(n+1) = S(n) + S(n-1).
Isto, junto com S(1)=S(2)=1, obriga a que S(n)=F(n).
JP
-----Mensagem original-----
De: José Paulo Carneiro <jpqc@uninet.com.br> Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br> Data: Sábado, 25 de Novembro de 2000 17:44 Assunto: Re: Fibonacci mais Pascal Suponho que voce conheca a formula do termo geral da seq. de
Fibonacci:
[(1+raiz de 5)/2]^n - [(1-raiz de 5)/2]^n, tudo
isto dividido por raiz de 5.
Se voce desenvolver esses 2 binomios pela formula do Bin. de
Newton,
aparecerao os numeros combinatorios. Por outro lado, as
potencias dos 2 binmios,
ora cancelam, ora se juntam para simplificar com o raiz de
5.
JP
-----Mensagem original-----
De: Rodrigo Villard Milet <villard@vetor.com.br> Para: Obm <obm-l@mat.puc-rio.br> Data: Sábado, 25 de Novembro de 2000 14:04 Assunto: Fibonacci mais Pascal Uma vez, vi uma curiosidade no triângulo de Pascal que
me assustou bastante. É o seguinte : Trace diagonais da direita para a esquerda
e de cima pra baixo ( Iguas ao do diagrama de Linus Paulin ) no triângulo de
Pascal e anote a soma dos termos de cada diagonal.
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
....
A primeira diagonal tem apenas o 1. Soma =
1
A segunda tem apenas o 1. Soma = 1
A terceira tem dois 1`s. Soma = 2
A quarta tem um 2 e um 1. Soma =3
A quinta tem dois 1`s e um 3. Soma = 5
E, surpreendentemente, vemos que a Sequência de
Fibonacci ressurge no triângulo de Pascal. Será que alguém pode provar isto pra
mim ??
Abraços,
¡ Villard
!
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