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Re: IMO2000 na minha home page



Olá amigos,
Em resposta a proposta do Nicolau, vai uma possível solução do primeiro problema, considerado o mais fácil da prova.

Enunciado

Duas circunferências G1 e  G2  interceptam-se em M e N.Seja t a reta tangente comum a G1 e G2 mais próxima de M.
Sejam A e B os pontos de intersecção de t com G1 e G2 respectivamente.Seja s a reta paralela a t por M, C a sua intersecção com G1 e D com G2 .As retas CA e DB interceptam-se em E, as retas AN e CD interceptam-se em
P e as retas BN e CD interceptam-se em Q.  Mostre que EP = EQ.    (Origem: IMO – 2000)

Observação: o texto acima é uma adaptação do texto em Inglês, mas mantendo o mesmo significado.

Uma possível solução
Sejam O e K os centros de G1 e G2 respectivamente, R e S as intersecções  de s com OA  e   KB  respectivamente  e  L  a
intersecção da reta MN com a reta t.

Do paralelismo de t e s,segue-se que:
 -  OA e KB são ambos perpendiculares as retas  t e s.
 -  Os pares de triângulos (NPQ, NAB)  e (EAB e ECD) são semelhantes.

Da potência do ponto L em relação a G1 e G2 resulta que:
 LA^2 = LM.LN = LB^2 .Daí, LA = LB e conseqüentemente NL é mediana  do  triângulo NAB relativa ao lado AB.

Sendo NL  mediana do triângulo NAB, decorre  da  semelhança entre NPQ e NAB,(com PQ // AB), que M é ponto médio de PQ, isto é,  MP = MQ.

Sendo  OA e KB ambos perpendiculares as retas  t e s, tem-se que o quadrilátero ARSB é retângulo, CM =2.RM = 2.CR  e MD = 2.MS = 2.SD.  Conseqüentemente, CD = CM+MD = 2.RM + 2.MS = 2.RS = 2AB.

Como CD = 2.AB; segue-se  da semelhança entre EAB e ECD, que EC = 2.EA .

Sendo EC = 2.EA e CM = 2.CR , podemos concluir que os triângulos ECM e ACR são semelhantes (LAL).Como AR é perpendicular a CM, pois OA é perpendicular a s, decorre desta semelhança que  EM é perpendicular a CM, conseqüentemente  EM é prependicular a   PQ.

Portanto, sendo MP = MQ e EM  perpendicular a PQ, podemos afirmar que o triângulo EPQ é isósceles de base PQ  e  conseqüentemente EP = EQ.
 
 

Autor: Luiz Antonio PONCE Alonso.
26/07/2000
Nota:
1)Para uma melhor compreensão faça uma figura com as considerações feitas na resolução.
2)Caso alguém queira uma solução com figura , e só pedir pelo email: ponce@lbm.com.br
3) Desculpe-me por qualquer falha. Por favor sinta-se a vontade para contactar-me por email.
4) O enunciado em Inglês ou em Espanhol  encontra-se em www.obm.org.br
 

"Nicolau C. Saldanha" wrote:

On Fri, 21 Jul 2000, Nicolau Corcao Saldanha wrote:

> A IMO2000 esta disponivel agora tambem em
> http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp
> (ingles, frances e espanhol; arquivos *.gif).
>

E ai, ninguém comenta nada da prova?
Eu gostei muito do problema 3 (das pulgas)
e do 5 (2^n + 1 é múltiplo de n e n tem 2000 fatores primos).
Lembro do enunciado do problema 3:

Seja n >= 2 um inteiro. Inicialmente, existem n pulgas
em uma linha horizontal, não todas no mesmo ponto.
Para um número real positivo l (lambda na prova),
defina um movimento da seguinte forma:

 Escolha duas pulgas com posições A e B, A à esquerda de B;

 A pulga que estava em A pula para o ponto C à direita de B
 com BC/AB = l.

Determine os valores de l para os quais, para qualquer M
na linha e qualquer posição inicial das pulgas,
existe uma seqüência finita de movimentos que leva todas
as pulgas para posições à direita de M.

Segue lá embaixo uma solução xroteada, ou seja, trocando
a por n, b por o, ... Eu recomendo só ler depois de tentar!
Obs: letras acentuadas e pontuação não foram alteradas.
Não reclamem se tiverem dificuldades em decifrar,
eu publicarei uma versão limpa depois...
[]s, N.

cuidado, solução se aproximando!

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N erfcbfgn é cnen y >= 1/(a-1).
Qrirzbf qrzbafgene qhnf pbvfnf:

(n) dhr cnen y >= 1/(a-1) rkvfgr hzn frdüêapvn vasvavgn qr zbivzragbf
dhr inv yrinaqb nf chytnf pnqn irm znvf cnen n qvervgn, hygencnffnaqb
dhnydhre cbagb cersvknqb Z;

(o) dhr cnen y < 1/(a-1) r cnen dhnydhre cbfvçãb vavpvny qnqn qnf chytnf
rkvfgr hz cbagb Z gny dhr nf chytnf rz hz aúzreb svavgb qr zbivzragbf
wnznvf nypnaçnz bh hygencnffnz Z.

Pbzrçnerv cryb vgrz (o). Frwnz k_1, k_2, ..., k_a nf cbfvçõrf vavpvnvf
qnf chytnf, pbz k_1 <= k_2 <= ... <= k_a, qr gny sbezn dhr k_a é n cbfvçãb
qn chytn znvf à qvervgn.
Frwn Z = (1/(1 - (a-1)y)) * (k_a - y*k_1 - y*k_2 - ... - y*k_{a-1}).
B cbagb Z pynenzragr rfgá à qvervgn qr gbqnf nf chytnf.
Nsveznzbf dhr fr ncóf nythaf zbivzragb nf abinf cbfvçõrf fãb
k'_1, ..., k'_a r fr qrsvavzbf
Z' = (1/(1 - (a-1)y)) * (k'_a - y*k'_1 - y*k'_2 - ... - y*k'_{a-1})
ragãb Z' <= Z; vfgb pbapyhveá n qrzbafgençãb.
Onfgn pbafvqrene b dhr bpbeer ncóf hz zbivzragb.
Fr n chytn dhr rfgnin rz k_v chyn fboer n chytn dhr rfgnin rz k_a
ragãb k'_a - k_a = y*(k_a - k_v) r k'_a - y*k_a = k_a - y*k_v r Z' = Z.
Dhnydhre bhgeb pnfb é nvaqn znvf snibeáiry.

B vgrz (n) r n zbgvinçãb cnen n sóezhyn qr Z rh qrvkb cnen ibpêf crafnerz...