Re: Dúvida cruel...

["Ecass Dodebel" <ecassdodebel@xxxxxxxxxxx>]

>From: "Rodrigo Villard Milet" <villard@vetor.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: "Obm" <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Subject: Dúvida cruel...
>Date: Thu, 13 Jul 2000 15:24:00 -0300
>
>Será que alguém podia me ajudar nesse problema ???
>Verificar se existe primo p tal que p>(n+1)! e   (2n)!/(n-1)! = (n+1)! mod 
>p
>*a igualdade deve ser lida como congruência...(é claro !)
>     ¡ Villard !

Olá,

(2n)!/(n-1)! = (n+1)! (mod p)

já que mdc( (n+1)! , p )=1, pois p é primo maior que (n+1)!, podemos dividir 
ambos os lados da congruência por p

(2n)!/(n-1)!(n+1)!=1 (mod p)

Se o lado esquerdo não for 1, ele deve ser maior do que p, e, 
consequentemente, maior que (n+1)!. No entanto para n=2,3,4,5 se ve, 
manualmente, que o lado esquerdo da congruencia acima é menor que (n+1)!, e 
para n maior do que 5, use o seguinte:

Na expansão de (1+1)^(2n) aparecem dois termos (2n)!/(n-1)!(n+1)!, logo

(2n)!/(n-1)!(n+1)! < 2^(2n)

E como 2^(2n) < (n+1)! para n>5 (verifica-se para n=5, e depois se prova por 
indução em n, já de de um lado aparece o produto 4, e do outro (n+2)>4). 
Unindo as duas desigualdes, temos:

(2n)!/(n-1)!(n+1)! < 2^(2n) < (n+1)! para n>5, o que conclui a demonstração.

Obrigado!

Eduardo Casagrande Stabel.


Obs. percebi que o Ralph Costa Teixeira já respondeu algo semelhante, mas já 
que eu estou aqui, mando...


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