Re: uma desigualdade!

[Bruno Leite <superbr@xxxxxxx>]

At 15:30 13/07/00 -0300, you wrote:
>Saudações a todos,
>
>Para que saibamos do que vou falar, copio a mensagem recebida:
>
>====
>> On Mon, 10 Jul 2000 17:02:23 -0300
>> Bruno Leite <superbr@zip.net> wrote:
>> >At 22:07 09/07/00 -0300, you wrote:
>> >>Caros amigos, como posso verificar a desigualdade
>> >>  1/1^3  + 1/2^3  + 1/3^3  + ...+ 1/n^3 <3/2   para todo
>> >n natural ?
>> >
>> >Um esbo=E7o de solu=E7=E3o:
>> >Provar por indu=E7=E3o que  1/1^3  + 1/2^3  + 1/3^3  + ...+
>> >1/n^3 <3/2(1-1/n)
>> >para n>1
>> >
>> >Ent=E3o quando n->infinito, 1/1^3  + 1/2^3  + 1/3^3  + ...+
>> >1/n^3<3/2
>> >
>> >A s=E9rie 1/1^3  + 1/2^3  + 1/3^3  + ...+ 1/n^3 =E9 crescente,
>> >limitada
>> >superiormente e tem um limite que =E9 menor que 3/2.
>> >Logo para qualquer n natural 1/1^3  + 1/2^3  + 1/3^3  +
>> >...+ 1/n^3 <3/2.
>> >
>> >Na verdade vale 1/1^3  + 1/2^3  + 1/3^3  + ...+ 1/n^3
>> ><1.202057
>> >
>> >Abra=E7o
>> >
>> >Bruno Leite
>====
>
>1) No livro The Art of Computer Programming Vol 1, de D. Knuth,
>temos o seguinte resultado:
>
>Um limite superior para a soma S = 1/i^r, i=1,2,...n com r>1 e real é dado
>por 2^{r-1}/(2^{r-1}-1). Colocando r=3, obtemos S < 4/3<3/2.

Essa desigualdade é muito boa! Você tem uma demonstração?

>2) Gostaria de ter mais detalhes para a prova por indução.

Suponha que 1/1^3  + 1/2^3  + 1/3^3  + ...+ 1/n^3 <3/2(1-1/n).
Então 1/1^3  + 1/2^3  + 1/3^3  + ...+ 1/n^3
+1/(n+1)^3<3/2(1-1/n)+1/(n+1)^3=3/2[(1-1/n)+2/(3*(n+1)^3)]<(*)3/2(1-1/(n+1))

(*)Temos que provar que -1/n+2/(3*(n+1)^3)<-1/(n+1)
Multiplicando por n+1

-1/n+2/(3*(n+1)^3)<-1/(n+1) <-->
-1-1/n+2/(3*(n+1)^2)<-1  <-->  2/(3*(n+1)^2)<1/n  <-->  2n<3n^2+6n+3  <-->
3n^2+4n+3>0 <-->delta<0, o que é verdade.

>3) Como achar o limite superior 1.202057 ?
Você pode usar o Maple ou fazer um programinha em C

"for(i=1;i<100;i++)
soma=soma+1/(i*i*i);"

por exemplo.
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Talvez haja algo de bom em
http://www.mathsoft.com/asolve/constant/apery/apery.html

>[]s
>Luís Lopes
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