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A afirmacao "existe uma e so
uma" pode ser decomposta em 2 partes:
"existe no maximo uma" e "existe no minimo
uma".
A primeira pode ser decidida por argumentos que nao
envolvem "analise";
por exemplo, se a e b sao raizes , entao
a^3-b^3=2(b-a) ou a^2+ab+b^2=2,
donde se conclui que ab>= 0 (ja que a e b estao
entre -1 e 1), etc.
Mas a afirmativa de existencia sempre
vai exigir algum argumento de "analise"
do
tipo "se um polinomio eh positivo para x=c e negativo para x=d , entao tem
uma raiz entre c e d" (citado abaixo). Na
realidade, a propria existencia da raiz cubica
(e da raiz quadrada) de um real qualquer
envolve argumentos deste tipo. A questao eh que
esta existencia (e outras) entra sorrateiramente no ensino medio, sem justificativa.
Agora, em relacao a derivada, concordo. Muita coisa
(talvez tudo) que se faz com derivadas
para polinomios, pode ser feito algebricamente (a
formula de Taylor eh "exata" para
polinomios).
Por exemplo, esqueca que a derivada eh 3x^2+2.
Examinar se f(x)=x^3+2x+k eh crescente
equivale a examinar se
f(b)-f(a)=(b-a)(b^2+ab+â^2+2) tem o mesmo sinal de b-a, ou
seja,
se eh positivo o ultimo parenteses, o qual =
(a+(b/2))^2+(3b^2)/4 + 2.
JP
(PS: quando ja ia enviar este mail,
vi que o Ralph escreveu algo analogo)
JP
-----Mensagem original-----
De: Filho <plutao@secrel.com.br> Para: discussão de problemas <obm-rj@mat.puc-rio.br> Data: Sábado, 1 de Julho de 2000 14:07 Assunto: sem cálculo Caro Wellington no final do seu
comentário, você usou recursos de cálculo. A questão
foi de um vestibular que no programa não consta nada de
cálculo.
Grato pelo primeiro comentário, mas o que
torna a questão diferente é exatamente não poder usar tais
recursos. O problema continua....................
Mostre que a equação x^3 + 2x
+k=0, com k real no intervalo aberto ]-3,3[, possui exatamente uma raiz no
intervalo aberto ]-1,1[. Seja f(x)=x^3+2x+k;
Primeiramente substituiremos x nos valores extremos do intervalo: para x=-1 a imagem da funcao estara em ]-6,0[; para x=1 a imagem da funcao estara em ]0,6[; ou seja, independente do valor de k dentro do intervalo em questao ( ]-3,3[ ), a funcao retornara valores com sinais opostos. Isso garante a existencia de um numero impar de raízes nesse intervalo (Teorema de Bolzano). (Para que exista apenas uma raiz, a funcao nesse caso deve ser estritamente crescente. Analisaremos entao a sua derivada: f ' (x)= 3x^2+2 > 0 para todo x, o que termina o problema)?????????????????? Pensem conosco, grato!!!!!!!! |