Re: situações-interessantes

[Carlos Victor <vivi2@xxxxxxxxxx>]

At 15:57 22/04/00 -0300, you wrote:
>Uma prova trivial seria resolver a equação dada como um triângulo equilátero
>mesmo.
>
>Ou seja,
>A circunferência circunscrita possui um raio R, tal que podemos colocá-la em
>função dos lados do triângulo.
>
>Seja um triângulo ABC e centro da circunferência O, temos:
>
>Como OC == OB, então temos um triângulo isósceles, então:
>OCB == OBC.
>
>Sabendo que os ângulos A, B e C é 60 graus, pois já cosidero que é
>equilátero.
>
>Então, veja que podemos ter congruência de triângulos, pelo caso LLL,
>obtemos o ângulo OBC = 30º, como o triângulo é isósceles então OCB = 30º.
>
>Usando a teoria dos senos,
>
>d/sen60 = r/sen 30 => r = d*sqrt(3)/3    seja d o lado do triângulo.
>
>Agora, considerando a circunferência inscrita no triângulo e raio R temos:
>
>Por congruência de triângulos pelo caso dos triângulos retângulos, veja q a
>única forma é termos O = O'
>
>Pois, a única forma de termos tal situação se e só se o triângulo for
>equilátero.
>Oberseve que temos que ter raios múltiplos.
>
>
>Podemos supor que o triângulo não seja equilátero, veja que nas condições
>impostas, ou seja o raio de uma circunferência ser o dobro da outro, não há
>tal configuração, pois, seja um segmento OQ, suponhamos que OQ seja
>intersectado num ponto P por uma perpendicular com extremidade em O, então,
>veja que por definição OP == PQ.
>Desta forma, a única maneira de termos um triângulo é se e só se ele for
>equilátero.
>
>Ats,
>Marcos Eike
>
>
>
>
>
>----- Original Message -----
>From: José Fabrício Maia
>To: discussão de problemas
>Sent: Sexta-feira, 21 de Abril de 2000 07:24
>Subject: situações-interessantes
>
>
>1- Prove que a equação x^5+y^2=z^3 possui infinitas soluções inteiras
>positivas.
>
>2- Prove que: se cosA + cosB + cosC = 1 +  (r / R ) então o triângulo é
>eqüilátero.
>
>
>Observações:
>a^b: significa (a) elevado a (b)
>r: raio da circunferência inscrita
>R: raio da circunferência circunscrita


Desculpem  se alguém já discutiu o problema 1 . Observe  que (3,10,7) é 
solução e que (3*k^6,10*k^15,7*k^10) também será , ok?


Carlos  Victor