Re: situações-interessantes

["Marcos Eike Tinen dos Santos" <mjsanto@xxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Uma prova trivial seria resolver a equação dada como um triângulo equilátero
mesmo.

Ou seja,
A circunferência circunscrita possui um raio R, tal que podemos colocá-la em
função dos lados do triângulo.

Seja um triângulo ABC e centro da circunferência O, temos:

Como OC == OB, então temos um triângulo isósceles, então:
OCB == OBC.

Sabendo que os ângulos A, B e C é 60 graus, pois já cosidero que é
equilátero.

Então, veja que podemos ter congruência de triângulos, pelo caso LLL,
obtemos o ângulo OBC = 30º, como o triângulo é isósceles então OCB = 30º.

Usando a teoria dos senos,

d/sen60 = r/sen 30 => r = d*sqrt(3)/3    seja d o lado do triângulo.

Agora, considerando a circunferência inscrita no triângulo e raio R temos:

Por congruência de triângulos pelo caso dos triângulos retângulos, veja q a
única forma é termos O = O'

Pois, a única forma de termos tal situação se e só se o triângulo for
equilátero.
Oberseve que temos que ter raios múltiplos.


Podemos supor que o triângulo não seja equilátero, veja que nas condições
impostas, ou seja o raio de uma circunferência ser o dobro da outro, não há
tal configuração, pois, seja um segmento OQ, suponhamos que OQ seja
intersectado num ponto P por uma perpendicular com extremidade em O, então,
veja que por definição OP == PQ.
Desta forma, a única maneira de termos um triângulo é se e só se ele for
equilátero.

Ats,
Marcos Eike





----- Original Message -----
From: José Fabrício Maia
To: discussão de problemas
Sent: Sexta-feira, 21 de Abril de 2000 07:24
Subject: situações-interessantes


1- Prove que a equação x^5+y^2=z^3 possui infinitas soluções inteiras
positivas.

2- Prove que: se cosA + cosB + cosC = 1 +  (r / R ) então o triângulo é
eqüilátero.


Observações:
a^b: significa (a) elevado a (b)
r: raio da circunferência inscrita
R: raio da circunferência circunscrita