Tabuleiro

["Ecass Dodebel" <ecassdodebel@xxxxxxxxxxx>]

Até tinha me esquecido de dizer que
ECASS DODEBEL = E...DO CAS...DE S...BEL = Eduardo Casagrande Stabel
Eu estou usando essa conta do hotmail pois não tive capacidade suficiente de 
configurar o meu Outlook Express para um formato de e-mail que todos 
pudessem ler.
Bem, eu ando um pouco entusiasmado, enviando soluções para problemas que eu 
mesmo escrevo. O fato é que eu preciso da apreciação de todos e possíveis 
colaborações, e, não me levem a mal, mas todos precisam. Bem, quem não 
quiser, fique no direito de não ler a solução, isso não é desprestígio.

Esse é da Cone Sul.

Problema.
As mn casas de um tabuleiro m x n (m,n >1 inteiros) são pintadas 
alternadamente de branco e preto, como em um tabuleiro de xadrez. Em 
seguida, colocamos em cada casa um número inteiro, de modo que a soma de 
cada linha e cada coluna sejam pares. Prove que a soma dos números escritos 
nas pretas é par

Solução.
Primeiramente enumeremos as casas do tabuleiro assim:
  1  2  3  4 ...
1
2
3
4
...
E definamos que (1,1) é branca. Fácil de ver é que todas as casas brancas 
(a,b) são tais que (a + b) é sempre par, e as casas pretas (a,b) tais que (a 
+ b) é sempre ímpar.
Consideremos algo similar ao problema:
1) Deixamos as casas com números pares, limpas
2) Pomos uma marca nas casas com números ímpares
Temos que mostrar que há par marcas em cada linha e coluna.
Seja B o conjunto de casas brancas com uma marca
Seja P o conjunto de casas pretas com uma marca
Sejam SBl e SBc a soma de todas as linhas e colunas de elementos de B. 
(respectivamente)
Sejam SPl e SPc a soma de todas as linhas e colunas de elementos de P. 
(respectivamente)
(Por exemplo. Se P={ (2,1) , (4,1) }, então SPc=2+4=6 e SPl=1+1=2)
Se (a,b)E B então (a + b) é par, logo (SBl + SBc) é par. Como o número de 
marcas em cada linha é par SBl + SPl é par, e como o número de marcas em 
cada coluna é par SBc + SPc é par, logo (SBl + SBc) + (SPl + SPc) é par, e 
portanto (SPl + SPc) é par. Mas veja que para todo o (a,b)E P temos (a + b) 
ímpar. Sendo a soma de todas as linhas e colunas de marcas em casas pretas 
PAR e a soma de linha e coluna em cada casa preta ÍMPAR então, 
necessariamente, o número de casas pretas é PAR, pois se fossem ímpar (SPl + 
SPc) seria ímpar, um absurdo.

Obrigadão! E espero não ter feito nenhuma confusão como no último e-mail.

PS. a conclusão final do último e-mail deveria ser que N=2xy e não N=xy...
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