Re: divisibilidadeXfatorial

["Marcos Eike Tinen dos Santos" <mjsanto@xxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Uma maneira de pensar neste problema e espero não estar fugindo às regras da
matemática.

Veja que 100! = 10^11 * q , podemos reescrever isto desta maneira : 100! =
2^11 * 5^11 * q.

Temos por definição de fatorial que n! = n*(n-1)*...*1 .
De fato, quando realizamos 100! temos que ele algum número já multipplicado
que não conheço irá multiplicar 10, e continuará multiplicando até 1.

Então, por definição temos que este número 100! será um número divisível por
10, o que implica que seu último algarismo será 0.

Veja que podemos estudar o caso fixando num primo que conhecemos, suponhamos
5. então, como base na teria dos números temos que procurar o número de
potências de 5 existe em 100!.

Com a fórmula:

100/5 + 100/25  = 24, temos o número que queríamos encontrar.

Então temos em 100!, 24 potências de 5.

Agora, com base neste fato conseguimos provar que 5^24 < 10^11

Pois 10^11/5^24 = > 2^11 * 5^11/5^24 => 2^11/5^13
Veja que 2<5 =< 2^11<5^11 => 2^11<5^13.

veja que se 5^24 > 10^11, então como 5^24 é uma parte dos 100!. então temos
que 100! >> 10^11.
Como 100! termina em 0, temos que 100! será divisível por 10^11 . cqd

* OBS: A fómula que mencionei acima é de fácil demostração pelas funções [x]
e {x}.

Ats,
Marcos Eike






----- Original Message -----
From: Marcos Paulo <mparaujo@uninet.com.br>
To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
Sent: Quinta-feira, 20 de Abril de 2000 01:01
Subject: RES: divisibilidadeXfatorial


> Tem um metodo meio cansativo de fatorar o fatorial de um número n,
consiste
> em ir dividindo n por 2, o quociente por 2 o novo quaciente por 2 e assim
> sucessivamente. o expoente do 2 será a soma dos quocientes obtidos. Dái
> passa -se para o 3 e repete o processo para todos os primos menores q n.
> No caso da pergunta basta notar que para se formar um 10 eh necessario um
> fator 2 e um fator 5. como o fator 2 deve ter um expoente muito maior q o
> fator 5, basta saber o expoente do 5. daí temos:
> 100:5 = 20 (logo existem 20 fatores 5)
> 20:5 = 4 (logo existem 4 fatores de 5^2)
> 4 :5 =0 (logo não existem fatores 5 ao cubo)
> O expoente do 5 será 20 + 4
> Disso concluimos q 100! eé divisível por 10^24 e portanto tb é por 10^11.
> espero ter ajudado!
> [] M.P.
>
> -----Mensagem original-----
> De: owner-obm-l@mat.puc-rio.br [mailto:owner-obm-l@mat.puc-rio.br]Em
> nome de Mira
> Enviada em: quarta-feira, 19 de abril de 2000 16:18
> Para: obm-l@mat.puc-rio.br
> Assunto: divisibilidadeXfatorial
>
>
> Ola lista!
>
> Como provar que 1x2x3x...x100 eh divisivel por 10^11 sem ficar
"procurando"
> os 10s? Existe alguma propriedade que possa usar?
>
> Obrigado!
>
> Mira
>
>