Re: Dúvida numa questão.

["Marcos Eike Tinen dos Santos" <mjsanto@xxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Nicolau, na opção b, eu devo mostrar que poderemos ter somas de movimentos
no qual me leve ao par ordenado (19,0) ?



Atenciosamente,
Marcos Eike
----- Original Message -----
From: Nicolau C. Saldanha <nicolau@mat.puc-rio.br>
To: <obm-l@matinta.mat.puc-rio.br>
Sent: Sábado, 18 de Março de 2000 18:35
Subject: Re: Dúvida numa questão.


>
>
> On Sat, 18 Mar 2000, Marcos Eike Tinen dos Santos wrote:
>
> > Níguém vai dar uma opinião, não?
> >
> > Marcos Eike
> >
> > ----- Original Message -----
> > From: Marcos Eike Tinen dos Santos <mjsanto@carajasnet.com.br>
> > To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> > Sent: Domingo, 12 de Março de 2000 22:44
> > Subject: Dúvida numa questão.
> >
> >
> > > Estudando um problema da IMO de 1996
> > >
> > > We are given a positive integer r and a rectangular board divided into
20
> > x
> > > 12 unit squares. The following moves are permitted on the board: one
can
> > > move from one square to another only if the distance between the
centers
> > of
> > > the two squares is Ör. The task is to find a sequence of moves leading
>
> Este sinal estranho deve significar raiz quadrada de r.
>
> > > between two adjacent corners of the board which lie on the long side.
> > >
> > > (a)  Show that the task cannot be done if r is divisible
> > > by 2 or 3.
> > > (b)  Prove that the task is possible for r = 73.
> > > (c)  Can the task be done for r = 97?
> > >
> > >
> > > No ítem 1, observe que fiz:
> > >
> > > Se r é divisível por 2 e 3 então, por definição r é um múltiplo de 2 e
3.
> > > Como no enunciado d = sqrt(r) => d^2 = r
> > >
> > > Considerando tal fato, supûs um eixo cartesiano de tal forma que
pudesse
> > > trabalhar com essa distância d, em qualquer parte do tabuleiro.
> > >
> > > d^2 = a^2 + b^2 => r = a^2 + b^2
> > >
> > > Então de r é divisível por 2 e por 3, então:
> > >
> > > a^2 + b^2 também o é.
> > >
> > > Podemos considerar que a^2 e b^2 seja divisível por 2 e 3.
> > >
> > > Veja que todas os quadrados pode ser congruentes a 0 mod 3 ou a 1 mod
3.
> > > Então, a e b são múltiplos de 3.
> > >
> > >
> > > de fato : (a^2 + b^2)/3. Considerando que o começo seja na coordenada
> > (0,0),
> > > então, temos coordenadas (3m,3n), e a única solução ao sistema é
(19,0).
> > > cqd..
> > >
> > >
> > > Acho que provei de forma um pouco coerente, mas depois de revisar
minha
> > > prova, observei que se eu levasse a peça a coordenada (18,0).
> > >
> > > Teríamos, como dividir por 3 e por 2 o sistema..
> > >
> > > r = a^2 + b^2 .
> > >
> > >
> > > Aí, eu me indaguei será que eu interpreto a distância como a soma das
> > > distâncias, ou seja, eu movo a peça para várias posições e somo esse
> > > percurso, ou a interpreto como sendo a distância final.
> > >
> > >
> > > Se chegar mais mensagem para vc, me desculpe, é porque estão voltando
> > minha
> > > mensagem.
> > >
> > >
> > > Muito Obrigado!
> > >
> > > Marcos Eike
> > >
> >
>
> Achei confuso, principalmente pq você não separou ou casos r par
> e r múltiplo de 3.
>
> Caso r par:
>
> A peça sempre se move de casa branca para casa branca.
> É portanto impossível mover a peça de uma casa (branca)
> para sua vizinha (preta).
>
> Caso r múltiplo de 3:
>
> Este corresponde aproximadamente ao que você fez:
> se a peça anda a na horizontal e b na vertical
> concluimos que a e b são ambos múltiplos de 3.
> Novamente é impossível ir de uma casa a sua vizinha.
>
> Quanto aos itens (b) e (c):
>
> (b) 73 = 8^2 + 3^2
> Os passos permitidos são portanto (+-8, +-3) e (+-3, +-8).
>
> (c) 97 = 9^2 + 4^2
> Os passos permitidos são (+-9, +-4) e (+-4, +-9).
>
> Fica para vocês pensarem...
> Atentem para as dimensões do tabuleiro: 20x12.
>
> []s, N.