Re: Limite

["José Paulo Carneiro" <jpcarneiro@xxxxxxxxxxxxxxx>]

Sinto muito, Paulo.

Mas estah cheio de desigualdades falsas.

Antes de mais nada, seria conveniente separar, quando
x tende a 0, os casos x>0 e x<0, que alias podem ser levados
em conta considerando que  sen  e tg sao funcoes impares
(isto eh: f(-x)=-f(x).

Mas mesmo assim, para x>0, e "proximo" de 0, por exemplo,
entre 0 e pi/2, eh falso que senx+cosx<1; ao contrario, eh
maior que 1. Tambem eh falso que x-sen x>sen x, o que
equivaleria a sen x<x/2 (por exemplo, sen(pi/6)=0,5>pi/12).

A solucao por serie de potencias estah correta, eh claro, mas
exige muito mais conhecimento do que L'Hopital, pois a serie
de Taylor exige nao so a derivada, como derivadas de ordens
superiores (no exemplo em questao, no minmo terceira, e talvez
ateh quarta, se for examinar os pontinhos...)

Em matematica propriamente dita, a propria definicao de seno e
tangente ja envolve ou series de potencias, ou integral (por exemplo,
pode-se definir arc tg x como a integral de 0 a x da funcao racional
 1/(1+x^2), e a partir dahi, obter tg, depois sen, etc.), ou por equacoes
diferenciais (seno seria a solucao unica de y''+y=0, com y(0)=0 e y'(0)=1),
etc. mas no curso secundario, as funcoes trigonometricas sao definidas
"pictoricamente" pela figura do circulo trigonometrico. De modo que
o jeito eh apelar para desigualdades a partir da figura, exatamente
como voce tentou fazer, Paulo.

Por essas figuras, da para deduzir que (quando x tende a 0),
sen x/x tende a 1; tg x/x tende a 1; (1-cos x)/x^2 tende a 1/2.

Tambem eh verdade que (x-sen x)/x^3 tende a 1/6 (omo se pode
ver por l'Hopital ou serie de Taylor), e que tgx -x tende a 1/3. Mas
eu nao sei fazer pela figura.
JP




 Comparando as areas

-----Mensagem original-----
De: Paulo Santa Rita <p_ssr@hotmail.com>
Para: obm-l@mat.puc-rio.br <obm-l@mat.puc-rio.br>
Data: Sexta-feira, 29 de Outubro de 1999 12:03
Assunto: Re: Limite


>Ola Prof Marcos,
>Saudacoes !
>
>A questao que o Sr propos pode sair por uma dupla aplicacao do teorema do
>confronto, um tema que e abordado no 2 grau e que portanto e acessivel a
seu
>aluno. Conforme o Sr deve saber, se, atendidas determinadas condicoes:
>
>Teorema do confronto:
>
>Atendidas determinadas condicoes:
>e se:
>F(x) < G(x) < H(x)
>
>e lim F(x) = L e Lim H(x) = L entao Lim G(x) = L
>
>Os limites devem ser para a mesma variavel e as funcoes devem atender
>algumas exigencias.
>
>Seja B= (x - tgx)/(senx - x), sua funcao. Entao:
>B = (tgx - x)/(x - senx) = tgx/(x - senx)  -  x/(x - senx)
>B = tgx/(x - senx)  +   x/(senx - x)
>
>mas, olhando para o ciclo trigonometrico, sabemos que:
>
>senx + cosx < 1 => senx < 1 - cosx  ( desigualdade 1 )
>
>senx + ( 1 - cosx ) < x => x - senx > 1 - cosx
>
>Logo : x > x - senx > senx para 0 < x < pi/2
>( Veja o Sr mesmo para x < 0 )
>
>Assim :
>
>x > x - senx > senx => tgx/x < tgx/(x - senx) < tgx/senx
>como lim tgx/x = 1 e lim tgx/senx = 1 entao:
>
>lim tgx/(x - senx) = 1
>
>( aplique o Sr mesmo x > x - senx > senx em x/( senx - x) conforme apliquei
>acima para tgx/(senx - x). O Sr chegara ao mesmo resultado.) Assim
>
>lim B = Lim tgx/(x - senx)  +  Lim x/(senx - x)
>lim B = 1 + 1 = 2
>
>Toda questao sobre limites, trivial porem nao direta, tal como a sua, se
>resolve por :
>
>1) por combinacao de limites basicos
>Por ex: lim( 1 + raiz2(1 - senx) + raiz2(1 + senx) )/x,  x -> 0
>
>
>2) por substituicao de infinitesimos
>Por ex: lim ( e^x + x )^(1/x), x -> 0
>
>3) pelo teorema do confronto
>Por ex: sua questao
>
>Um abraco
>Paulo Santa Rita
>6,1100,291099
>
>
>
>
>
>>From: "Marcos Paulo" <mparaujo@uninet.com.br>
>>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>>To: "lista obm" <obm-l@mat.puc-rio.br>
>>Subject: Limite
>>Date: Mon, 25 Oct 1999 00:04:25 -0200
>>
>>Gostaria que me ajudassem nessa:
>>
>>Um aluno me pediu para que eu calculasse o seguinte limite:
>>
>>Lim    (x  - tg x)/(senx - x) .
>>x-->0
>>
>>Na hora resolvi usando a regra de L'Hospital e encontrei 2 que é a
>>resposta.
>>Em casa fui pensar em como  faria a questão sem usar a regra de
L'Hospital.
>>Sem sucesso resolvi pedir ajuda e ninguém conseguiu resolver sem usar a
>>regra de L'Hospital. Se alguém conseguir algum artifício algébrico me
>>avise!
>>
>>Obs.: Essa questão encontra-se na coleção Fundamentos da Matemática
>>Elementar volume 8 na seção de testes.
>>
>>Obrigado pela atenção,
>>
>>Marcos Paulo
>
>______________________________________________________
>Get Your Private, Free Email at http://www.hotmail.com