Re: Logaritmos

["Paulo Santa Rita" <p_ssr@xxxxxxxxxxx>]

Caro Duda,
Saudacoes !

Fica um pouco complicado mostrar o que voce quer sem usar conceitos de 
analise. Todavia, "acredite" que a sequencia:

An = (1 + 1/N)^N

na medida que "N" cresce SE APROXIMA, POREM NUNCA ALCANCA,  um numero, que 
chamam de "constante de Euler-Macheroni" e que e comumente representada por 
"e". E esse "e", um numero irracional trancendente, que constitui a base dos 
logaritmos neperianos. Assim:

ln(1 + 1/n)^n < ln e => ln(1 + 1/n)^n < 1 => n*Ln(1 + 1/n) < 1
Ln(1 + 1/n) < 1/n   ( desigualdade A )

Note agora que se,

lim An = e, entao lim Bn, Bn=(1 - 1/n)^n e 1/e. Por que ?

Fazendo I/n = -1/u => n = -u e N->infinito = u-> infinito. assim

lim Bn=(1 - 1/u)^u = (1 + 1/n)-n = [(1 + 1/n)^n]-1 = e^(-1)= 1/e

podemos, pois, fazer:

Ln(1 - 1/n)^n < Ln(1/e) => n*Ln(1 - 1/n) < -1 => -n*Ln(1 - 1/n)> 1
n*Ln(1 - 1/n)^(-1) > 1 =>Ln(n/n-1) > 1/n

Ln(n/n-1) > 1/n (desigualdade B)

Na desigualdade A faca N=1998 e, na desigualdade B, N=1999:

1/1999 < Ln(1999/1998) < 1/1998

Que e o que voce quer provar.
Quase todas as desigualdades envolvendo (1 + 1/n)^n sao resolvidas assim, 
trocando 1/n por uma f(u) tal que quando n vai para o infinito, u tambem 
vai. Uma questao relacionada, porem um pouco mais trabalhosa e que vai 
precisar de calculo diferencial e :

Quem e maior: e^pi ou pi^e ?

Um forte abraco
Paulo Santa Rita
2,0850,131099



>From: "Eduardo Casagrande Stabel" <duda@hotnet.net>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Subject: Logaritmos
>Date: Fri, 8 Oct 1999 23:21:05 -0300
>
>Como se prova esse resultado?
>
>1/1999 < ln(1999/1998) < 1/1998
>
>
>duda
>

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