Re: Logaritmos

[Ralph Costa Teixeira <ralph@xxxxxxxxxxxxxxx>]

	Solução I (com cálculo, mas visível graficamente):

	Seja f(x)=ln(x) (para x>0). Note que f'(x)=1/x e f''(x)=-1/x^2. Em
particular, como f''<0 para qualquer x, f tem concavidade para baixo.
	Isto quer dizer que para quaisquer x0<x1 positivos, temos:

	f'(x0) > (f(x1)-f(x0))/(x1-x0) > f'(x1)

	(Graficamente, o primeiro é o coeficiente angular da tangente ao
gráfico de f(x) em x0; o do meio é uma secante ao mesmo gráfico e o
terceiro é a tangente em x2). Então, no caso f(x)=ln(x)

	1/x0 > (ln(x1)-ln(x0))/(x1-x0) > 1/x1

	Tomando x0=1998 e x1=1999, está feito.

	Esboço da solução II (sem cálculo):

i) Prove que a seqüência (1+1/n)^n=((n+1)/n)^n é crescente em n; o
limite é e=2,718... (este limite é uma possível definição de e).

ii) Em particular, tome n=1998: (1999/1998)^1998 < e ==> 1999/1998 <
e^(1/1998)
==> ln 1999/1998 < 1/1998

iii) Prove que (1-1/n)^n=((n-1)/n)^n é crescente em n; o limite é 1/e.

iv) Em particular, tome n=1999: (1998/1999)^1999 < 1/e ==> 1999/1998 >
e^(1/1999)
==> ln 1999/1998 > 1/1999


Eduardo Casagrande Stabel wrote:
> 
> Como se prova esse resultado?
> 
> 1/1999 < ln(1999/1998) < 1/1998
> 
> duda