Re: Logaritmos

["Eduardo Casagrande Stabel" <duda@xxxxxxxxxx>]

From: Paulo Santa Rita <p_ssr@hotmail.com>
> Caro Duda,
> Saudacoes !

Oi Paulo,

> 
> Fica um pouco complicado mostrar o que voce quer sem usar conceitos de 
> analise. Todavia, "acredite" que a sequencia:
> 
> An = (1 + 1/N)^N
> 
> na medida que "N" cresce SE APROXIMA, POREM NUNCA ALCANCA,  um numero, que 
> chamam de "constante de Euler-Macheroni" e que e comumente representada por 
> "e". E esse "e", um numero irracional trancendente, que constitui a base dos 
> logaritmos neperianos. Assim:



Isso que voce fala de "SE APROXIMA, POREM NUNCA ALCANCA" (pelo que sei) nao e' inteiramente verdade. Existe um famoso conto de Achilles e a Tartaruga, que deves conhecer e que diz o seguinte (em minha palavras, nao tenho o texto original): "o corredor Achilles disputa uma corrida com uma tartaruga, e afirma-se que ele nunca ALCANCCA a tartaruga pois em um dado momento a tartaruga e o corredor estao distanciados de uma determinada medida, o corredor entao vai ate o ponto onde a tartaruga se encontra, porem a tartaruga ja se deslocou um pouco para frente e novamente Achilles vai ate onde esta a tartaruga e ela ja nao esta no mesmo local pois andou para frente, e assim indefinidamente...". Bem, o que sei dessa historia, contada por Zenao, e' de que ha um momento em que o corredor de fato alcancca a tartaruga, existe o tal momento. E pelo proprio conceito de limite, podemos tomar um numero tao perto quando quisermos de outro, e sempre poderemos tomar um mais proximo, pois no limite temos, justamente, o proprio numero (nem menor nem maior), ele e' igual. E' o que sei, por isso 1,999... = 2, ele nao e' menor.



> 
> ln(1 + 1/n)^n < ln e => ln(1 + 1/n)^n < 1 => n*Ln(1 + 1/n) < 1
> Ln(1 + 1/n) < 1/n   ( desigualdade A )
> 



Para provar que (1+1/n)^n e' menor que "e", posso fazer pelo binomio de newton? Assim:
(1+ 1/n)^n =  1 + n*(1/n) / 1! + n(n-1)*(1/n^2) / 2!  + n(n-1)(n-2)*(1/n^3) / 3! +      ...
                <  1  +    1/1!       +           1/2!            +               1/3!            +       ... = e
E' valida essa passagem de desigualdades ate o infinito? (sempre?)



> Note agora que se,
> 
> lim An = e, entao lim Bn, Bn=(1 - 1/n)^n e 1/e. Por que ?
> 
> Fazendo I/n = -1/u => n = -u e N->infinito = u-> infinito. assim
> 
> lim Bn=(1 - 1/u)^u = (1 + 1/n)-n = [(1 + 1/n)^n]-1 = e^(-1)= 1/e
> 
> podemos, pois, fazer:
> 
> Ln(1 - 1/n)^n < Ln(1/e) => n*Ln(1 - 1/n) < -1 => -n*Ln(1 - 1/n)> 1
> n*Ln(1 - 1/n)^(-1) > 1 =>Ln(n/n-1) > 1/n
> 
> Ln(n/n-1) > 1/n (desigualdade B)
> 
> Na desigualdade A faca N=1998 e, na desigualdade B, N=1999:
> 
> 1/1999 < Ln(1999/1998) < 1/1998
> 
> Que e o que voce quer provar.
> Quase todas as desigualdades envolvendo (1 + 1/n)^n sao resolvidas assim, 
> trocando 1/n por uma f(u) tal que quando n vai para o infinito, u tambem 
> vai. Uma questao relacionada, porem um pouco mais trabalhosa e que vai 
> precisar de calculo diferencial e :
> 
> Quem e maior: e^pi ou pi^e ?



So' sei provar por inducao com numeros a e b inteiros > e, vale
a^b > b^a         se a<b

Entao o maior e'  e^pi, mas uma prova eu nao tenho.


duda

> 
> Um forte abraco
> Paulo Santa Rita
> 2,0850,131099
> 
> 
> 
> >From: "Eduardo Casagrande Stabel" <duda@hotnet.net>
> >Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
> >To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
> >Subject: Logaritmos
> >Date: Fri, 8 Oct 1999 23:21:05 -0300
> >
> >Como se prova esse resultado?
> >
> >1/1999 < ln(1999/1998) < 1/1998
> >
> >
> >duda
> >
> 
> ______________________________________________________
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