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Caro Luciano.
Eu
entendo a sua duvida, e a sua ansia de dar um "significado" a
essas
coisas. Na realidade, este eh um assunto que nos
levaria longe. Talvez
um dia eu escreva algo a respeito, mas por ora,
quero so lhe dizer
o seguinte.
Muitas pessoas, acostumadas com a frase "3^4
da 81", imaginam
que o simples fato de eu colocar um 4 em cima de um
3 "gera" 81, de um modo
quase "fisico", como uma inelutavel
necessidade da natureza. A partir dahi, ele
se pergunta: se eu colocar 0 em cima de 3, "o
que da?", tendo de antemao uma
certeza interior de que forcosamente "da
alguma coisa".
Na realidade, o fato de que 3^4 significa o produto
de 4 fatores iguais a 3 (e por
isto "da 81") eh uma convencao de
linguagem, ou de simbologia.
(Eh ateh uma convencao relativamente recente. Ainda ha uns 300 e poucos anos
- o que eh isto diante da idade da humanidade? - alguns
matematicos achavam
que se podia achar o
"quadrado" de um numero real, ou o seu "cubo",
mas nao sua quarta
potencia, ou mais alta, porque isto nao tinha
"significado
geometrico".)
Imaginemos que chegasse aqui na terra um habitante
de um certo planeta de uma
distante galaxia, onde nao houvesse o habito de
representar 3*3*3*3 por 3^4. Ao ver
um 3^4, ele perguntaria: o que significa isto? E
responderiamos:3^4=3*3*3*3, por
definicao. Se nos generalizarmos 3^n=3*3*...*3 (n fatores), ele passa a
saber o que
sao 3^2, 3^3, ..., 3^200, ...,
mas vai continuar sem saber
o que
sao: 3^1 (nao existe produto de 1 fator), 3^0 (muito menos de 0 fatores),
3^(-2)
(muito menos). Se voce nao der uma nova
definicao de 3^0, ele vai ficar na mesma.
Em principio, seria possivel definir 3^0=587, por
exemplo. Mas isto seria totalmente
inconveniente, no sentido de que nao teria
propriedades interessantes.
O que ocorre eh que, para chegar a uma definicao
conveniente de 3^0, os matematicos
levaram seculos, e assim o decidiram por
diversos motivos. O mais imediato eh que
se o natural m for maior que o natural n, eh
tranquilo verificar (faca!) que 3^m / 3^n =
3^(m-n). No entanto, esta regra nao tem sentido,
num primeiro momento, se m<n ou m=n.
Como porem 3^m / 3^m = 1, isto sugere que, se
definirmos 3^0=1, a regra passa a valer para
m=n, e se definirmos 3^(-p)=1/3^p, a regra passa a
valer para m<n. E isto revelou-se
conveniente ao longo de
varias aplicacoes (isto envolveria muitos exemplos e a
verificacao
de muitas propriedades que
se preservam).
Coisas analogas acontecem para 0!
No caso, de 0^0, ocorre algo interessante: ha
alguns argumentos de conveniencia para definir
0^0=1 (nao vai dar para desfia-los aqui)
e ha outros argumentos em contrario. Por isto, a
maioria dos matematicos prefere
nao definir 0^0, e eles tem conseguido sobreviver
assim perfeitamente. Outros usam que
0^0=1, mas sao obrigados a acrescentar:
"exceto em tais e tais casos, quando nao tem
sentido (isto eh, permanece sem
definicao)".
Naos sei se melhorei sua aflicao ou nao, mas eh
dificil fazer aqui neste espaco.
Jose Paulo
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