Re: resolução de problemas

["Paulo Santa Rita" <p_ssr@xxxxxxxxxxx>]

Caro Prof Carlos Gomes,
Saudacoes !

>From: "Severino Carlos Gomes" <severo@samnet.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>CC: <severo@samnet.com.br>
>Subject: resolução de problemas
>Date: Wed, 22 Sep 1999 20:54:54 -0300
>
>Gostaria das soluções destas questões de olimpíadas, para preparar melhor 
>os meus alunos para a próxima Olimpíadas do ano 2000.

Estou lhe enviando as respostas que encontrei. Se chegarem legiveis e nao 
truncadas, por favor, publique-as na lista. Estou com problemas para receber 
e remeter e-mail´s, de forma que se o Sr. quiser entrar em contato comigo e 
nao receber resposta e porque nao recebi seu e-mail

>1)Certos arcos de um círculo são pintados de vermelho. Se a soma desses 
>comprimentos é menor do que a metade do comprimento da 
>circunferência,mostre que tem de existir um par de pontos diametralmente 
>opostos que não são vermelhos.

Podemos considerar que o raio da circunferencia e um, sem perda de 
generalidade. Sejam B1, B2, ..., Bn os arcos brancos (nao pintados) e c(B1), 
c(B2), ..., c(Bn) os seus comprimentos. Sabemos, por hipotese, que : c(B1) + 
c(B2) + ... + c(Bn) > "pi".
Tomemos um arco branco qualquer Bi e tracemos por seus extremos diametros. 
Surge assim, antipoda ao arco Bi, um outro arco, que designaremos por Vi. O 
Comprimento de Vi e claramente igual ao de Bi, dado que ambos sao 
subtendidos por angulos opostos pelo vertice. Assim, para qualquer "i", 
c(Bi) = c(Vi)
Se, agora, postularmos que um diametro tracado de qualquer ponto de Bi 
intercepta Vi sempre em um ponto vermelho, o arco Vi sera vermelho,ja que 
todos os seus pontos o serao. Portanto, a cada arco branco Bi corresponde um 
arco Vi, vermelho e de mesmo comprimento. Logo c(V1) + c(V2) + ... + c(Vn) = 
c(B1) + c(B2) + ... + c(Bn) > "pi". Um absurdo, ja que a soma dos 
comprimentos dos arcos vermelhos deve ser menor que "pi" !
Portanto, a nossa postulaçao e insustentavel e somos obrigados a admitir que 
existira ao menos um ponto branco com antipoda tambem branco.

>2)Existem 1091 formigas se movimentando numa tábua de dimensões 2 cm x 3 
>cm. prove que algum momento você pode pegar no mínimo 6 dessas formigas 
>cobrindo-as com um copo cilíndrico de vidro de diâmetro 3 cm.

Salvo melhor juizo, o enunciado se sua questão esta errado. Os numeros 
magicos que nela figuram, entretanto, sugerem um outro enunciado ... Com 
efeito: 1091= 7x155 + 6, isto é, 1091 objetos podem ser dispostos em 156 
regioes de forma que 155 delas tenham 7 objetos e uma unica tenha apenas 6 
... por outro lado 156 = 12x13, e portanto e mais provavel que as dimensões 
de sua tabua sejam 12x13 cm e nao 2x3 conforme esta no enunciado.
Os numeros magicos nao permitem inferir a provavel dimensao do diametro do 
copo, mas suponho que nao e 3 cm ou o minimo de formigas nao e seis.
O Senhor nao gostaria de reformular a questao ? A essencia dela, salvo 
melhor juizo, consiste em encontrar a quantidade minima de regioes ( copos ) 
que podem cobrir uma outra, em geral maior, e, a seguir, aplicar o principio 
da casa dos pombos ...

>
>3)Qual é o número de vezes que aparece o algarismo 5 quando uma impressora 
>imprime todos os números inteiros de 1 a 1 000 000? Quantas vezes aparece o 
>algarismo 4?

Vou apenas esboçar a solução.

de 1 a 9       1 vez como unid
de 10 a 99     9 vez como unid   10 vez como dez
de 100 a 999   90 vez como unid  90 vez com dez   100 vez como centena
...
de 10^n a 999...999   9*10^(n-1)  9*10^(n-1) ... 10^n

fica evidente a formaçao ... expresse o somatorio em funcao de N e, a 
seguir, aplique  induçao sobre N

Acho oportuno registrar que sou apenas um estudante universitario que gosta 
de matematica. Esta lista, entretanto, e orientada e frequentada por grandes 
mestres, dentre os quais destaco os profs Wagner, Nicolau, Jose Paulo, 
Gustavo Tamm, Barone Neto etc para citar alguns. com eles o Sr tera 
explicaçoes prolixas.

Nota: A questão 1) e capciosa. Segundo Lebeque, um conjunto finito de pontos 
tem medida zero. Se se acrescentar a este fato o que podemos fazer com a 
questao usando o axioma da escolha, o estrago pode ser grande... eu 
reformularia a questao e diria: mostre que existe um segmento branco com 
antipoda branco .... fica a seu criterio. Eu nao o abordei assim porque 
precisaria escrever muito e, muito provavelmente, alunos de nivel medio nao 
entenderiam minha argumentaçao.

Um forte abraço
Paulo Santa Rita
2,0930,270899

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