Re: Problema horroroso

["Paulo Santa Rita" <p_ssr@xxxxxxxxxxx>]

Caro Bruno,
Saudacoes !

Antes de abordarmos propriamente a questao que voce propos considero 
importante, para uma maior claridade na exposicao, fixar a notacao que 
usaremos. Assim, representaremos por :

{ N/R } o numero binomial de numerador N e denominador P, vale dizer: { N/P 
} = (N!)/(P! (N-P)!); Se N < R, { N/R } = 0

Si[1,R] F(i) o somatorio de F(i), "i" variando de 1 ate R.

A solucao que obteremos esta dividida em duas partes. Na primeira, que 
representaremos por A(n), estarao computados todos os triangulos equilateros 
com vertice para cima. O total de triangulos com vertices para baixo sera 
representado por V(n). Nas duas funcoes "n" representa o comprimento do lado 
do triangulo inicial.

Seja ABC um tringulo equilatero de lado "n" imaginado como se BC fosse a 
base e A o vertice.  Entre A e B, no sentido de A para B, inserimos N-1 
pontos D1, D2, ..., Dn-1 de forma que o lado AB fique dividido em N partes 
iguais, Por estes pontos tracamos N-1 paralelas a BC que interceptarao AC 
respectivamente nos pontos E1, E2, ..., En-1, Chamaremos de "base i" ao 
segmento DiEi. A base BC sera referenciado com "a base n".

O total de triangulos equilateros com lado unitario e vertice para cima, que 
representaremos por T1, e facilmente computavel. Com efeito, sobre a base 1 
( D1E1) cabe um triangulo; sobre a base 2 cabem dois triangulos; sobre a 
base tres cabem tres triangulos ... sobre a base N cabem N triangulos. Isto 
e :

T1 = 1 + 2 + 3 + ... + N = (N(N+1))/2 = { N+1/2 }

O total de triangiulos equilateros com lado igual a 2 e vertice para cima ( 
T2 ) segue a mesma logica: sobre a base 2 ( D2E2 )cabe um triangulo; sobre a 
base 3 cabem dois triangulos; ...; sobre a base N cabem N-1 triangulos. Isto 
e:

T2 = 1 + 2 + 3 + ... + (N-1) = ((N-1)N)/2 = { N/2 }

No caso dos triangulos com lado 3 :

T3 = 1 + 2 + 3 + ,,, + (N-2) = ((N-2)(N-1))/2 = { N-1/2 }

E assim sucessivamente ... O que queremos e calcular T1 + T2 + ,,, + Tn. 
Ficara :

T1+T2+T3+...+Tn={ N+1/2 }+{ N/2 }+{ N-1/2 }+...+{ 2/2 }={ N+2/3 }

Portanto, o total de triangulos com vertices para cima, que convencionamos 
chamar A(n) e que e  a primeira parte de nossa formula, e:

A(n) = { N+2/3 }

Precisamos agora calcular V(n), o total de triangulos equilateros com 
vertice para baixo.

Seja P=[ N/2 ] "o maior inteiro que não supera N/2". Observe que se N for 
par, entao P=N/2. Se N for impar, P = (N-1)/2.
A expressao E = N/2  -  P = N/2  -  [N/2], assume o valor zero se N e par. 
Se N for impar, E = 1/2 ( um meio )
Observe que num triangulo equilatero  qualquer P e o lado do maior triangulo 
com vertice para baixo que cabe neste triangulo
Quantos triangulo equilateros com lado P cabem no triangulo equilagtero com 
lado N ? 1 (sobre a base P=DpEp), se N e par ; 1+2 se P for impar ( 1 sobre 
a base P=DpEp e 2 sobre a base P+1=Dp+1Ep+1). E se o lado do triangulo for 
"P-1" ? 1 + 2 + 3 se N for par; 1+2+3+4 se N for impar.

Esse "valor a mais" que o triangulo de lado impar tem chamarei de "Excesso" 
e representarei por E(p). Assim, um triangulo de lado impar  K pode ser 
pensado como um de lado par "K-1" mais um Excesso E(k)

Assim, sendo P=[N/2], "o maior inteiro que não supera N/2", fica :

1  ( Lado P)  => se N e par: 1 ; se N e impar: 1+2 ( aqui E(1) = 2 )

2 (Lado P-1) => se N e par: 1+2+3 ; se N e impar: 1+2+3+4 ( aqui E(2) = 4 )

3 (Lado P-2) => : se N e par: 1+2+3+4+5; se N e impar: 1+2+3+4+5+6 ( aqui 
E(3) = 6)
................

P (Lado 1)    => se N e par: 1+2+...+(2P-1); se N e impar: 1+2+...+(2P-1)+2P 
( aqui E(p) = 2P )

Assim, se N e par não somamos o excesso. Se N e impar, somamos. Ora, a 
expressao E = ( N/2 - [N/2] ) = ( N/2 - P ) tem essas caracteristicas, sendo 
zero par N par e 1/2 para N impar. Logo, representando por S(n) = 
1+2+3+...+N, tudo que obtivemos acima pode ser expresso por :

K ( lado P-k+1) => 1+2+3+...+(2K-1) + 4K(N/2 - P), independente de  N ser 
par ou impar !!!!!!!!!!




A expressao de V(n), que representa todos os triangulos equilateros com 
vertice para baixo, sera:

V(n) = S(1) + S(3) + S(5) + ... + S(2P-1) +  4(1+2+...+P)(N/2 - P)
V(n) = S(1)+S(3)+S(5)+...+S(2p-1) + 4{ P+1/2 }( N/2  -  P )

V(n) = { P/1 }*S(1) + { P/2 }*(S(3)-S(1)) + { P/3 }*(S(5) - 2S(3) + S(1)) + 
4*{ P+1/2 }*(N/2 - P)

Mas S(1) = 1, S(3) = 6 e S(5) = 15. Logo

V(n) = { P/1 } + 5{ P/2 } + 4{ P/3 } + 4{ P+1/2 }( N/2 - P )

Nesta ultima expressao, conforme já dissemos, { N/R } representa o numero 
binomial (N!)/(P!(N-P)!) com { N/R } = 0 se N < R. N e o comprimento do lado 
do triangulo equilatero e P=[N/2] e o maior inteiro que não supera N/2.

A expressao final que voce procura e A(n) + V(n), que chamaremos de T(n). 
Portanto :

T(N)={ N+2/3 }+{ P/1 }+ 5*{ P/2 }+ 4*{ P/3 }+ 4*{ P+1/2 }*( N/2 - P )

Independente de N ser par ou impar !

Caro Bruno, estou com dificuldades de receber e enviar e-mail´s e nem sei se 
voce recebera minha resposta. Este seu e-mail abaixo chegou um tanto 
truncado e faltando algumas partes. Aos poucos as coisas vao se normalizando 
... Todavia, penso ter lido que voce esta há 2 anos tentanto resolver esta 
questao e não  conseguiu chegar a uma expressao satisfatoria. Li correto ?
Se for assim, não fique triste ou se sinta inferiorizado pelo fato de 
outra(s) pessoa(s) resolver com brevidade algo que se lhe apresentou 
impenetravel ... Resolver questoes dificeis com brevidade e muito mais uma 
questao de habilidade e experiencia, não de inteligencia ... outras 
faculdades mentais ( espirituais ? ) que são muito mais importantes e 
proficuas para a ciencia e para a matematica em particular e que nao se 
confundem com agilidade e destreza logico-matematica  ...
So para consubstanciar mais o que estou afirmando sugiro que voce leia 
qualquer livro sobre a historia da matematica. Neste livro voce percebera 
que os progressos mais significativos  que esta ciencia experimentou ao 
longo dos seculos foram frutos, sobretudo, da capacidade de determinados 
homens INTUIREM possibilidades e poderem DEFINIR ( CAPTAR ) novos conceitos 
que preservavam as conquistas já feitas ao mesmo tempo que abriam novas 
possibilidades. As extensões numericas N c Z c Q c R c C sao uma prova 
eloquente disso ... Por outro lado, so a titulo de exemplificacao, Sir Isaac 
Newton consumiu cerca de 19 anos para provar com rigor que uma distribuicao 
esfero simetrica de massa se comporta, para efeitos gravitacionais, como se 
toda a massa estivesse concentrada no centro geometrico da esfera: por ter 
consumido tanto tempo para provar este fato alguem diria que Newton foi uma 
pessoa  mentalmente inferior ? Outros fatos similares voce pode ler sobre 
Gauss ( Teorema da reciprocidade quadratica ) e Lagrange.

Finalmente, não sei se voce percebeu que um  quadrado de lado N tambem 
permite enunciar uma questao semelhante. Neste figura não há quadrado 
menores invertidos, visto que a inversao de um quadrado gera um outro 
identico ao primeiro, mas há uma gama enorme de "quadrados inclinados" e eu 
já calculei que um raciocinio semelhante ao que desenvolvemos acima permite 
solucionar esta questao. Voce gostaria de tentar resolve-la ?

Um forte abraco
Paulo Santa Rita
2,0900,041099

















>From: "Bruno Leite" <superbr@hotmail.com>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-l@mat.puc-rio.br
>Subject: Problema horroroso
>Date: Sun, 26 Sep 1999 10:58:34 PDT
>
>Seja f(n) o número de triângulos equiláteros (0<i<=n)que estão contidos num 
>triângulo equilátero de lado n (num triangulado, digamos)
>
>Ex: f(1)=1 pois num triângulo eq. de lado 1 há apenas um triângulo.
>    f(2)=5 pois num tr.eq. de lado 2 há um triangulo de ponta cabeça, três 
>tr. de lado 1 "certos" e um grandão.
>    f(3)=13 pois temos 9 pequenos, 3 médios e um grande.
>    f(4)=27 etc
>    /\
>   /\/\
>  /\/\/\
>/\/\/\/\
>
>
>A figura ilustra o caso n=4 (é preciso fingir que há também as divisões 
>horizontais, formando uma malha triangular.)
>
>É fácil ver que há:
>16 triângulos do tipo /\ ou \/ (lado 1)
>7 triângulos de lado 2 (6 /\ e 1 \  /)
>                         /  \     \/
>3 triângulos lado 3 e
>1 de lado 4.
>
>
>Pede-se f(n) em função de n (fórmula explícita)
>Eu comecei a estudar esse problema há 2 anos mas sempre desisti por falta 
>de resultados. Já achei várias relações mas não acho a fórmula geral. 
>Gostaria MUITO que alguém falasse como se faz.
>
>Se alguém que se interessou não entender o enunciado muito bem, eu faço 
>umas figuras explicativas para ajudar.
>
>Bruno Leite
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