Re: DESAFIO

["Paulo Santa Rita" <p_ssr@xxxxxxxxxxx>]

Caro marcelo,
saudacoes !

Seja ABC um triangulo e, para facilitar as coisas, suponha que o vertice é 
"A" e a base é BC.  Marcando "N-1" pontos em BC, pontos estes que 
denotaremos por p1, p2, p3, ..., p(n-1), podemos construir "N-1" cevianas 
que partem todas do vertice "A" e terminam em p1, p2, p3 ... p(n-1) e que 
designaremos por v1, v2, v3 , ..., v(n-1)

A relação de stewart, aplicada a ceviana v1, permite escrevermos:

(b^2)*Bp1 + (c^2)*p1C - (v1^2)*a = a*Bp1*p1C

mas Bp1 = a/N e p1C = (N-1/N)*a. Logo

(b^2)*(a/N) + (c^2)*[(N-1/N)*a] - (v1^2)*a = a*(a/N)*[(N-1/N)*a]

cancelando "a" :

(b^2)*(1/N) + (c^2)*(N-1/N) - (v1^2) = [(N-1)/(N^2)]*a^2

o que fornece:

v1^2 = (b^2)*(1/N) + (c^2)*(N-1/N) - [(1/N) - (1/N^2)]*a^2

Para a ceviana v2 o raciocínio e analogo. Devemos apenas notar que
Bp2 = 2*a/N e p2C = (N-2/N)*a. Após a simplificações ficara:

v2^2 = (b^2)*(2/N) + (c^2)*(N-2/N) - [(2/N) - (4/N^2)]*a^2

repetindo este raciocinio para as "N-1" cevianas:

v1^2   = (b^2)*(1/N) + (c^2)*(N-1/N) - [(1/N) - (1/N^2)]*a^2
v2^2   = (b^2)*(2/N) + (c^2)*(N-2/N) - [(2/N) - (4/N^2)]*a^2
v3^2   = (b^2)*(3/N) + (c^2)*(N-3/N) - [(3/N) - (9/N^2)]*a^2
...
vn-1^2 = (b^2)*(N-1/N) + (c^2)*(1/N) - [(N-1/N) - ((N-1)^2/N^2)]*a^2

As somas em função de N são elementares: progressões aritméticas e a soma 
dos quadrados. Fazendo Sa = v1^2 + v2^2 + ... + vn-1^2, ficarão:

Sa = (N-1/2)*(b^2) + (N-1/2)*(c^2) - (N-1/2)*(N+1/3N)*a^2

Claramente que para o lado "c" cuja soma designaremos por Sc e para o lado 
"b", cuja soma designaremos por Sb, as somas ficarão :

Sb = (N-1/2)*(a^2) + (N-1/2)*(c^2) - (N-1/2)*(N+1/3N)*b^2
Sc = (N-1/2)*(b^2) + (N-1/2)*(a^2) - (N-1/2)*(N+1/3N)*c^2

somando Sa, Sb e Sc e designando tal soma por S:

S =  {[(N-1)(5N-1)]/6N }*(a^2 + b^2 + c^2)

Se o meu e-mail chegar legivel e sem truncamento faça-me o favor de publicar 
na lista a resposta, visto que estou comproblemas em meu servidor e estou 
tendo dificuldades tanto para remeter como para receber mensagens

Um grande abraço

Paulo Santa Rita
3,0907,210899


>From: marcelo <firmino@libnet.com.br>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: obm-rj@mat.puc-rio.br
>Subject: DESAFIO
>Date: Fri, 17 Sep 1999 21:55:09 -0300
>
>     Ai vem uma questao que eu achei belissima
>
>Questao: Dividi-se cada lado de um triangulo ABC de lados a , b  e c, em
>N partes. Demonstrar que a soma dos quadrados das cevianas traçadas
>unindo-se os pontos de divisao aos vertices opostos e igual a  (5N -
>1)(N - 1)(a^2 + b^2 + c^2) / 6N
>
>     Mandar a resolucao dessa questao fica meio dificil, mas ai vai a
>questao pra vcs se divertirem
>
>             Atenciosamente...
>                     Marcelo Brazao...
>

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