Re: Desafio...

["Paulo Santa Rita" <p_ssr@xxxxxxxxxxx>]

Ola Duda, saudações !

seja { an } uma progressao aritmetica tal que an  = a1 + (N-1)R  e { bn } 
uma progressao geometrica tal que bn = b1*[q^(n-1)]. Definimos a sequencia { 
cn } por:

cn = an*bn

quanto vale : Sn = c1 + c2 + c3 + ... + cn ?

Ora,  Sn = a1*b1 + a2*b2 + a3*b3 + ... + an*bn

Sn = a1*b1 + (a1+R)*b1*q + (a1+2R)*b1*(q^2) + ... + [a1+(N-1)R]*b1*[q^(N-1)]
q*Sn = a1*b1*q + (a1+R)*b1*(q^2) + (a1+2R)*b1*(q^3) + ... + 
[a1+(N-1)R]*b1*(q^N)

Sn - q*Sn = a1*b1 + R*b1*q + R*b1*q^2  ... + R*b1*q^(N-1) - 
[a1+(N-1)R]*b1*(q^N)
(1-q )Sn =  a1*b1 + R*b1[ q + q^2 + q^3 + ... + q^(N-1) ] -  
[a1+(N-1)R]*b1*(q^N)

Se modulo de q  e maior que 1, fica :

(1-q )Sn = a1*b1 +  { R*b1*q*[q^(N-1) - 1] } / ( q-1 )  -  
[a1+(N-1)R]*b1*(q^N)

Se modulo de q e menor que 1, vale dizer,  -1 < q < 1 então q^(N-1) tende a 
zero quanto N tende ao infinito., ficando : ( substituindo q^N por zero )

(1-q )Sn = a1*b1 + R*b1*q / (1 - q )  =>   Sn =  a1*b1/ (1 - q ) + R*b1*q / 
(1 - q )^2
Sn =  a1*b1/ (1 - q ) + R*b1*q / (1 - q )^2           (Formula Final)

A sequencia apresentada pelo colega é:

1 + 2/2 + ¾ + 4/8 + 5/16 + 6/32 + 7/64 ...

Aqui a progressão aritmetica e 1, 2, 3, ... com a1 = 1 e R = 1 e a 
progressao geometrica e 1, ½, ¼, 1/8, 1/16, 1/32 ... com b1= 1 e q = ½.

Aplicando a formula que deduzimos:

Sn = 1*1/(1 - ½) + 1*1*1/2 / (1 - ½ )^2  => Sn = 4

A expressão que deduzimos e, entretanto, totalmente geral nas condiçoes 
enunciadas, podendo se usada para somar qualquer soma infinita em que os 
termos são o produto respectivo de uma PA por uma PG.

Um abraço
Paulo Santa Rita
3,1634,210899

>From: "Eduardo Casagrande Stabel" <duda@hotnet.net>
>Reply-To: obm-l@mat.puc-rio.br
>To: <obm-l@mat.puc-rio.br>
>Subject: Desafio...
>Date: Mon, 13 Sep 1999 18:11:51 -0300
>
>Esse eu inventei. Quanto vale:
>
>1/1 + 2/2 + 3/4 + 4/8 + 5/16 + 6/32 + 7/64 + 8/128 + 9/256 + 10/512 + 
>11/1024 + ... ?
>
>O termo generico eh  ( n+1 )/( 2^n ).
>duda
>

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