Re: Re: Provas fáceis do IME...............

[alexv@xxxxxxxxxxxxxxx]

Em relação ao problema abaixo, que o Marcelo Rufino enviou:

>2) (IME-87/88) Mostre que por todo ponto não situado sobre o eixo Ox 
passam
>exatamente duas parábolas com foco na origem e eixo de simetria Ox e que
>estas parábolas interceptam-se ortogonalmente.
>

Acho que pode ser assim:

1) As parábolas descritas podem ser de dois tipos:
a) Concavidade virada para esquerda => P1: y^2=4k(x+k)
b) Concavidade virada para direita  => P2: y^2=-4k'(x-k')

de uma forma geral, pode-se dizer que: P: y^2=4k(x+k); k Real não nulo

Considere agora T(a,b) fora de OX => b <> 0 
Mas se T(a,b) pertence a parabola:
=> b^2=4k(a+k) = 4(k^2)+4ak  
=> 4k^2 + 4ak - b^2 = 0  
=> Delta = 16a^2 + 16b^2 > 0 , logo temos 2 raízes => 2 parábolas

Para mostrar que elas são ortogonais, basta analisar o coeficiente angular 
da reta tangente a cada uma, através da derivada.
=> derivando: 2y.y' = 4k => y'=2k/y 
=> m(tg1) = 2k1/y0  e  m(tg2) = 2k2/y0  => m(tg1)*m(tg2) = 4k1*k2/(y0)^2
=> mas k1*k2 = -[(y0)^2]/4  => m(tg1)*m(tg2)= -1 (são ortogonais)


[]'s e Saudações (tricolores, claro!!)
Alexandre Vellasquez