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Re: Exercícios antigos do IME



(IME-94/95) Prove que x^999 + x^888 + ... + x^111 + 1  é divisível por x^9 + x^8 + ... + x + 1.
Basta notar que   x^9 + x^8 + ... + x + 1 = (x^10 - 1)/(x - 1)  ou seja, todas as 9 raízes de x^9 + x^8 + ... + x + 1  satisfazem  x^10 = 1
Como   x^999 + x^888 + ... + x^111 + 1 = (x^1110 - 1)/(x^111 - 1)  então  todas as 999 raízes de  x^999 + x^888 + ... + x^111 + 1  satisfazem  x^1110 = 1.
Como  x^1110 = (x^10)^111  e as 9 raízes de  x^9 + x^8 + ... + x + 1  satisfazem  x^10 = 1, então estas nove raízes também satisfazem x^1110 = 1, implicando que todas estas nove raízes também são raízes de  x^999 + x^888 + ... + x^111 + 1.
 
       /\
       | |                 Marcelo Rufino de Oliveira
      /| |\               Engenharia Mecânica-Aeronáutica
    /  | |  \             ITA   Turma-99
  /    | |    \
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-----Original Message-----
From: Marcos Paulo <mparaujo@uninet.com.br>
To: lista obm <obm-l@mat.puc-rio.br>
Date: Segunda-feira, 22 de Novembro de 1999 06:49
Subject: Exercícios antigos do IME

Já que a moda é falar de exercícios do IME, aqui vai um que é, no mínimo, interessante:
 
Prove que x^999 + x^888 + ... + x^111 + 1  é divisível por x^9 + x^8 + ... + x + 1.
 
POde ser meio simples mas é um bom exercício!
 
Marcos Paulo