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Re: IME



Questao 10 do IME

Considere quatro números inteiros a, b, c e d. Prove que o produto:

(a-b) (c-a) (d-a) (d-c) (d-b) (c-b)

é divisível por 12 .

Obviamente consideremos que todos os números sao distintos, pois se 2 forem iguais o produto serah 0, que é divisível por 12
I) Inicialmente provemos que o produto eh divisivel por 4
Se todos os 4 numeros forem impares ou pares as diferencas serao todas pares e o produto serah divisivel por 26
= 16
Se 1 for par e 3 impares, teremos 3 diferencas pares (as que envolvem os termos impares), e o produto eh divisivel por 23
= 8
Se 1 for impar e 3 pares teremos novamente 3 diferencas pares (as que envolvem os termos pares), e o produto eh divisivel por 23
= 8
Se 2 forem pares e 2 impares teremos 2 diferencas pares (a que envolve os termos impares e a que envolve os termos pares), e o produto eh divisivel por 22
= 4
Como vemos o caso mais critico eh o ultimo, implicando que sempre o produto eh divisivel pelo menos por 4.

II) Agora provemos que o produto eh divisivel por 3
Se dois numeros forem divisiveis por 3 entao sua diferenca tambem serah, implicando que o produto tambem seja divisivel por 3. Suponhamos entao que nao existam dois numeros divisiveis por 3. Ou seja, 3 numeros sao da forma 3x
± 1.
1- Se for: 3x + 1, 3y + 1, 3z + 1  temos 3 diferencas divisiveis por 3
:
(3x+1-3y-1)(3x+1-3z-1)(3y+1-3z-1) = 27(x-y)(x-z)(y-z)
2 - Se for: 3x + 1, 3y + 1, 3z – 1  temos 1 diferenca divisivel por 3
:
(3x+1-3y-1)(3x+1-3z+1)(3y+1-3z+1) = 3(x-y)(3x-3z+2)(3y-3z+2)
3 - Se for: 3x + 1, 3y – 1, 3z – 1  temos 1 diferenca divisivel por 3
:
Semelhante ao caso 2
4 - Se for: 3x – 1, 3y – 1, 3z – 1  temos 3 diferencas divisiveis por 3
:
Semelhante ao caso 1
Portanto sempre teremos o produto divisível por 3


Como o produto eh divisivel por 3 e por 4 entao eh divisivel por 12.

Marcelo Rufino

-----Original Message-----
From: Elon Santos Corrêa <elon.correa@bbs2.sul.com.br>
To: LISTA <obm-l@mat.puc-rio.br>
Date: Sexta-feira, 19 de Novembro de 1999 01:26
Subject: IME

 
Caros amigos:
 
Gostaria de saber se voces podem me enviar a resolucao do seguinte exercicio da prova de MATEMATICA do VESTIBULAR DO IME deste ano:
 
10a QUESTÃO Valor 1,0
Considere quatro números inteiros a, b, c e d. Prove que o produto:
(a-b) (c-a) (d-a) (d-c) (d-b) (c-b)
é divisível por 12 .
 
Obrigado, Elon.