Os físicos teóricos consideram a supersimetria uma idéia tão bela que mesmo na ausência de qualquer indício empírico direto da sua verdade, e somente um indireto de que talvez seja verdade ([Wi]), quase todas as propostas atuais de teorias fundamentais incorporam a supersimetria. Pelas suas propriedades matemáticas e conseqüências físicas marcantes, as teorias supersimétricas destacam-se entre os candidatos mais promissores para a nossa próxima visão do mundo físico. Mas o que é a supersimetria? Não é fácil formular a resposta em termos leigos. Há várias razões para isto. Em primeiro lugar, a supersimetria, do jeito que o físico a entende, combina de uma maneira não trivial a simetria do espaço-tempo e uma relação entre os dois tipos fundamentais de campos físicos, os bosônicos e os fermiônicos ([So]). Há muita especificidade nesta mistura, e isto oculta as propriedades essenciais das estruturas matemáticas envolvidas, apesar destas existirem independentemente de qualquer relação com o espaço-tempo. De fato, todo aluno de matemática já é familiar, sem perceber isto, com vários exemplos delas. Em segundo lugar, uma boa parte de supersimetria é formal, ou seja, tem mais a ver com expressões e não com objetos matemáticos ``verdadeiros''. Simetrias formais não tem muita graça, a qual só aparece com as interpretações. Interpretações em termos de teorias quânticas fundamentais estão longe da experiência leiga. Infelizmente as conseqüências mais notáveis e úteis aparecem só na teoria quântica. Fora deste contexto só um apelo à beleza é capaz de manter interesse. Finalmente, a abordagem matemática correta exige idéias que raramente fazem parte das matérias usuais de cursos de matemática, e o aluno de modo geral tem pouca familiaridade com elas, apesar de muitas serem bastante elementares. Tentaremos, por meio de exemplos simples, apresentar aqui uma visão elementar deste assunto tão extraordinário.
Considere a expressão xy e uma substituição
para
x e
para y. Por exemplo,
e
.
Temos agora (-x)(-y). É tentador dizer que temos xy de novo,
mas com qual justificativa? Uma seria dizer que x e y são
números, ou matrizes, ou outros objetos parecidos, e portanto as
propriedades elementares destes justificam a conclusão. Ou seja, as
expressões são interpretadas e dada a interpretação
podemos provar que
.
Por outro lado, numa
abordagem mais formal, podemos introduzir algumas regras pelas quais uma
expressão poderia ser transformada numa outra e assim, após um
número finito de aplicações destas regras,
se
transforma em xy. Assim não dizemos o que x e y são mas somente o que pode ser feito com expressões que os
envolvem.
Digamos que
e
são quaisquer justaposições
de símbolos, e admitamos as seguintes regras de reescrita:
A supersimetria atua em situações intermediárias entre as interpretadas e as formais, onde certos símbolos tem interpretação em termos de objetos matemáticos ``usuais'', e outros não. Isto dá lugar a muita perplexidade em quem aborda o assunto pela primeira vez, especialmente aos estudiosos de matemática que tentam entender a literatura física.
Dado que contemplamos substituições pelas quais
pode
ser ``transformado'' de volta a xy, ou seja, em que xy é
``invariante'', é tentador dizer que estamos diante de um ``grupo de
invariância''. O contexto porém é muito solto e não há
necessariamente um grupo a vista. Às vezes achamos grupos e às vezes
não. Às vezes achamos algo que tem muitas coisa em comum com grupos
mas que estritamente falando não o são. Supergrupos são exemplos
destes últimos objetos. Supersimetria na sua abordagem formal é
``simetria'' em relação a um ``grupo'' que de fato não o é. É
de fato um tipo de grupo quântico.
Consideremos algumas interpretações de xy. Os símbolos
x e y então indicam objetos matemáticos de algum tipo e
portanto
e
devem ser objetos do mesmo tipo. Impomos a
condição
.
Se o tipo é número então
simplesmente passamos de um par de números a outro par que tem o mesmo
produto. Não há estrutura de grupo evidente nesta situação.
Mesmo sendo possível achar um grupo de transformações
para o qual
,
não é
esta a idéia. Não estamos exigindo que
e
dependam de x e y, simplesmente que os substituam. A
situação muda um pouco se x e y agora são interpretados como
funções definidas no plano
,
a saber, as
funções coordenadas. Neste caso
e
são
funções também e temos
.
Há muitos
grupos de transformações
que podem ser formados por tais pares de funções. O conjunto de
todas as inversíveis que levam cada conjunto de nível da
função xy em si mesmo, é o maior grupo deste tipo. Este tem
dimensão infinita.
Uma situação mais restrita acontece quando interpretamos x e
y como elementos geradores do anel polinomial
.
Um par de polinômios,
,
satisfaz
se e só se tem uma das
seguintes formas:
Um outro caso, ainda em
,
é a expressão x2+y2.
Agora
e
são necessariamente polinômios lineares,
e
,
tais que a matriz
Uma situação também interessante acontece se x e y são
geradores da álgebra exterior
onde por xyentendemos
.
Temos
e
.
Do
deduzimos, as = 0,
at+ bs =
0,
au + cs = 0, e
bu- ct +av+ ds = 1. Entre as soluções
destas equações estão aquelas com a=s=d=v=0 e bu- ct=1.
Estas definem um grupo isomorfo a
,
dado pelas
matrizes
O caso de álgebras pode ser considerado algo intermediário entre o
interpretado e o formal. Para
,
por exemplo, não
precisamos dizer o que X é, só que algumas regras, tais
como
Xn Xm = Xn+m, são válidas. Assim há algo de
``formal''. Os coeficientes cn em
,
porém, são
números, e portanto há também algo de ``interpretado''. Uma
lição que podemos tirar destes exemplos é que a medida que
introduzimos elementos ``formais'' nos objetos designados por x e
y, mais possibilidade temos de perceber alguma estrutura de grupo
presente, mas pelo fato de ``substituição'' não ser exatamente a
mesma coisa que ``transformação'', é possível esperar outras
possibilidades.
No resto deste capítulo, vamos explorar algumas estruturas algébricas inspiradas por teorias físicas. A título de conveniência, supomos que todas as álgebras são reais. O caso complexo em geral é uma fácil adaptação, e a maioria das considerações valem para corpos gerais de característica diferente de 2.
A mecânica quântica divide os objetos físicos em bosônicos e fermiônicos. Este fato é expresso algebricamente por comutação de operadores no primeiro caso e por anti-comutação no segundo. Esta diferença é fundamental para toda a teoria.
Lembramos que numa álgebra associativa
dizemos que acomuta com b se o comutador
[a,b]=ab-ba =0. Dizemos que
a anti-comuta com b se o anti-comutador
.
Ora, se a e b comutam com c,
então ab também comuta com c. Porém, se a e b anti-comutam com c, então ab em geral não anti-comuta com
c mas comuta com ele. Mais ainda, se a comuta com c,
e b anti-comuta com c (ou vice-versa), então abanti-comuta com c. Se denotamos por
a subálgebra de
elementos que comutam com c, e por
o subespaço daqueles que anti-comutam com c, então têm-se
e
,
o que nos leva
a introduzir as álgebras graduadas.
Seja S um semigrupo. Uma álgebra
é uma álgebra S-graduada se existem subespaços vetoriais
para
tais que
e
.
Um elemento
é
dito homogêneo de grau s se
.
Neste caso denotamos o grau de a por |a|. No que segue, vamos
introduzir expressões que são válidas somente para elementos
homogêneos, sem chamar atenção para este fato, entendendo que a
presença na expressão do grau de um elemento já indica que ele
deve ser homogêneo.
Um morfismo entre duas álgebras S-graduadas
e
é um morfismo de álgebras
que preserva a
graduação, isto é
.
A supersimetria utiliza álgebras
-graduadas, também
conhecidas como superálgebras. Se
é uma
superálgebra então
é conhecida como a subálgebra
bosônica, e
como o subespaço fermiônico (o qual não é uma subálgebra). No caso de
dimensão finita vamos indicar em geral uma base de
por
e uma base de
por
,
e
dizer que
é de tipo (n,m).
Seja
uma superálgebra. A aplicação bilinear
definida por
O supercolchete combina propriedades do comutador e do anti-comutador de
uma maneira sistemática. Na literatura física vê-se
freqüentemente a expressão muito feia, ,
com o colchete a
esquerda e a chave a direita, para denotar o supercomutador.
As propriedades do supercomutador assemelham-se às propriedades do
colchete de Lie, porém, com algumas mudanças de sinal. Em primeiro
lugar, tem-se a relação de simetria graduada
É possível reescrever (3.3) numa maneira mais
simétrica como
É notável que o anti-comutador
por si só,
não satisfaça nenhuma identidade parecida com a de Jacobi.
Algumas álgebras familiares já são superálgebras de forma
natural. A álgebra polinomial real
da variável Xé naturalmente
.
Outros dois exemplos
são a álgebra exterior
de um espaço vetorial
e a álgebra de Clifford
de um
espaço vetorial
com uma forma bilinear simétrica
não-degenerada
.
A subálgebra bosônica consiste de somas
de produtos (exterior ou de Clifford, conforme o caso) de um número
par de elementos de
,
e o subespaço fermiônico de somas
de produtos de um número ímpar. Note que a álgebra comutativa
não é supercomutativa, já que
enquanto a álgebra supercomutativa
não é comutativa já
que para
tem-se
.
No mundo de objetos
-graduados o análogo correto de
comutatividade é a supercomutatividade. Álgebras comutativas no
sentido usual devem ser consideradas como essencialmente não
comutativas neste contexto.
Uma superálgebra de Lie é uma álgebra
-graduada
cujo produto, denotado por
,
satisfaz as propriedades (3.2) e
(3.5) acima. Qualquer superálgebra associativa é uma
superálgebra de Lie com o produto sendo o supercomutador. Uma
representação de uma superálgebra de Lie
é uma
aplicação linear
para uma superálgebra
associativa
,
preservando a graduação, tal que
Vários teoremas usuais sobre álgebras de Lie têm análogos muito
parecidos para superálgebras de Lie. Assim, superálgebras de Lie
podem ser representadas universalmente numa superálgebra associativa
envolvente. Seja
uma superálgebra de Lie e seja
a álgebra tensorial plena do espaço
vetorial
.
Tem-se
Vale também o análogo do teorema de Birkoff-Witt. Seja
de
tipo (n,m), então uma base para
é dado por
produtos de forma
onde
são inteiros e
.
O caso de todos os ki e
iguais a zero corresponde ao elemento unidade.
Como um exemplo considere a superálgebra de Lie com
e
sendo um espaço vetorial qualquer. Neste caso
[
a,b ]s= 0 para qualquer par de elementos, e o ideal
é
gerado por todos os produtos tensoriais
para todos os
.
Disso vê-se que
é
,
a álgebra exterior de
.
Como
outro exemplo ilustrativo seja
de tipo (n,m). Assuma que
seja uma álgebra de Lie abeliana e que
[
bi,fj ]s=0. Temos
.
Vemos de (3.1) que
cijk=cjik, mas
(3.3) não impõe mais nenhuma relação. Considere
o caso particular de n=1, m=2 com
,
,
e
.
Em
há
relações
,
,
e
.
É fácil ver que como espaço vetorial tem-se
.
É instrutivo considerar a álgebra de Lie
gerada por
contida em
.
Suponha
e
.
Vamos demonstrar que
contém todos os monômios de forma bk f1para k natural.
Primeiro,
[f1, f2] = 2f1f2, e portanto
.
Note que b comuta com tudo. Suponha, por
indução em n, que bnf2 e bnf1f2 pertencem a
.
A hipótese é verdadeira para n=0. De
[f1,f1f2]= 2bf2 tem-se
[f1, bn f1f2]=2bn+1f2 e assim
.
Também
[f1, bn+1f2] =
2bn+1f1f2 e portanto
,
o que
completa a demonstração.
O ponto essencial deste resultado é que
tem
dimensão infinita. Assim uma superálgebra de Lie
de dimensão finita foi usada para codificar uma
álgebra de Lie
usual de dimensão infinita.
Interessa à física as simetrias da matriz de espalhamento S.
Este é um operador unitário no espaço de Hilbert dos estados
físicos que descreve os detalhes de processos elementares. Existem
duas noções de simetria, (1) um operador
unitário3.1
U tal que USU*=S, e (2) um operador auto-adjunto K tal que
[K,S]=0. No segundo caso, sob condições adequadas, o grupo
unitário
para
,
fornecido
pelo teorema espectral, satisfaz
,
e portanto é
um grupo de de simetrias unitárias. Um tal operador K é
conhecido como simetria infinitesimal. Formalmente, se K e
L são simetrias infinitesimais, então pela identidade de Jacobi
temos
[[K,L],S]=0. Assim, ainda formalmente, as simetrias
infinitesimais, multiplicados pelo número imaginário i, formam
uma álgebra de Lie. Na teoria relativista do campo quântico, a
álgebra de Lie de simetrias infinitesimais contém, como
subálgebras, uma imagem isomorfa à álgebra de Lie do grupo de
Poincaré (gerado por translações no espaço-tempo e
transformações de Lorentz) e uma álgebra de Lie de dimensão
finita de simetrias internas que relaciona propriedades de
espécies diferentes de partículas (por exemplo prótons e
nêutrons). Esforços iniciais de combinar de uma maneira não
trivial as simetrias do espaço-tempo e as simetrias internas, o que
daria uma teoria com poder de previsão maior, encontrou um obstáculo
no famoso ``no-go theorem'' de Coleman e Mandula ([CM]).
Este afirma
que na teoria relativista de campo quântico, qualquer álgebra de Lie
de dimensão finita de simetrias infinitesimais que estende a simetria
de Poincaré, é necessariamente uma soma direta (e portanto
uma combinação trivial) da álgebra de Poincaré com a álgebra
de simetrias internas. A supersimetria evita este teorema postulando uma
superálgebra de Lie de dimensão finita de simetrias
infinitesimais, a qual, como vimos no exemplo anterior, é capaz de
gerar uma álgebra de Lie de dimensão infinita e portanto foge das
hipótese do teorema de Coleman-Mandula.
Retornando ao contexto físico em discussão, uma álgebra de Lie de dimensão finita de simetrias infinitesimais, pode ser, em princípio, exponenciada a uma representação unitária do grupo de Lie correspondente, formando assim um grupo de simetrias unitárias. Se porém temos uma superálgebra de Lie de simetrias infinitesimais, uma exponenciação, em princípio, nos levaria a elementos de um problemático grupo de Lie de dimensão infinita. Seria genial se tivermos um processo análogo ao de exponenciação que resultaria num objeto que codificaria o suposto grupo de Lie de dimensão infinita de maneira parecida com a codificação de álgebras de Lie de dimensão infinita por superálgebras de Lie de dimensão finita. Isto nos leva a considerar supergrupos.
Um espaço vetorial
-graduado é um espaço
vetorial
junto com uma decomposição numa soma direta de
dois subespaços
.
A álgebra
tem agora uma
-graduação natural.
Temos
se
.
Em termos de matrizes em blocos temos
Um dos subespaços
é usualmente considerado como
bosônico e o outro como fermiônico, embora a definição não
faça distinção entre os dois. A
-graduação de
não depende de qual dos subespaços é
identificado como bosônico. Uma tal identificação, quando é
feita, tem que ser baseada em considerações adicionais.
Seja
uma superálgebra de Lie e
um espaço
vetorial
-graduado. Por uma representação de
em
entendemos uma representação em
como definida anteriormente.
Sejam
uma superálgebra de Lie,
uma
superálgebra associativa de dimensão finita e
uma representação. Temos as
exponenciais
,
mas em geral não podemos
compô-las:
em geral não é
da forma
para algum
,
nem para o
caso de a e b serem restritos a uma vizinhança
suficientemente pequena de zero, como seria o caso de álgebras de
Lie usuais.
Para apreciar este fato considere a formula de Baker-Campbell-Hausdorff:
Sejam
e
duas superálgebras. Definimos o produto
tensorial
-graduado
.
Como
espaço vetorial,
é o produto tensorial
usual. A multiplicação, porém, é
definida por
Suponha agora
e
associativo. Uma conta fácil
demonstra
Consideremos agora que b e d são ``elementos'' com propriedades
fixas a-priori e que a e c são ``coeficientes'' cujas
propriedades podemos escolher à vontade. Se estamos interessados nas
propriedades dos ``elementos'' em relação ao supercolchete, então
o lado direito tem o supercolchete conveniente [b, d ]s mas
também o produto incômodo bd. Porém, se assumirmos que é supercomutativo, então
[a,c ]s= 0 e temos
Baseado nestas considerações, é de fato fácil provar que se
é uma superálgebra supercomutativa e
é uma
superálgebra de Lie, então
é uma
superálgebra de Lie se definirmos o supercolchete por
(3.10). Note que a subálgebra bosônica, que é uma
álgebra de Lie usual, corresponde a |a|=|b| e |c|=|d|, e assim
tanto a parte bosônica quanto a fermiônica de
,
isto é a
superálgebra de Lie inteira, é codificada na álgebra de
Lie usual
.
Isto nos permite usar a formula
de Baker-Campbell-Hausdorff para tratar superálgebras de Lie.
Ao introduzir superálgebras, descobrimos que para explorar as suas
propriedades somos forçados a estender a idéia de
-graduação a quase todos os outros objetos
matemáticos em volta. Assim entramos no mundo da ``supermatemática'',
com superespaços, supervariedades, etc. O prefixo ``super'', que soa
tão pomposo, significa simplesmente ``estendido para objetos
-graduados''. Vem junto a idéia de que os elementos
``fermiônicos'' de qualquer um destes objetos anticomutam, e que as
noções, e definições da matemática costumeira devem ser
modificados pela introdução de um sinal negativo cada vez que uma
permuta de dois elementos fermiônicos aparece nas fórmulas usuais.
Assim comutador vira anticomutador para elementos fermiônicos, a
identidade de Jacobi vira a identidade (3.3) e assim por
diante.
Interprete agora a soma
como
onde os
xi e
são bases para o subespaço bosônico e
fermiônico respectivamente de uma superálgebra associativa
supercomutativa que denotaremos por
.
Podemos agora interpretar A como um elemento de
.
Do mesmo jeito
pode ser reescrito como
e interpretado também como elemento de
.
Infelizmente se precisamos
trabalhar com A e B ao mesmo tempo, não podemos considerar os
dois como elementos de
.
Podemos
porém considerar todos os coeficientes como elementos de
e assim tanto A quanto B como elementos de
.
Aplicando agora a formula de Baker-Campbell-Hausdorff a eAeB e
usando (3.10), vemos que podemos escrever
eAeB=eConde
e os
coeficientes zi e
são séries formais de potências
em xi, yi,
e
.
Tais séries formais
podem ser um pouco simplificadas. Devido à natureza anticomutativa dos
elementos fermiônicos de
,
qualquer produto destes
com mais que 2m elementos é zero e qualquer outro produto é
igual a um da forma
onde
.
Escreva este produto como
.
Temos então
e
onde cada
e
é uma série formal de
potências agora somente nos xi e yi.
Neste ponto podemos adotar uma de duas atitudes. A primeira (que pode
ser chamada de ``híbrida'') é considerar os xi e yi como
variáveis reais, do mesmo jeito que acontece no caso de álgebra de
Lie. Neste caso as séries formais convergem para |xi| e |yj|suficientemente pequenos. Temos então uma coisa parecida com uma lei
de produto de um grupo de Lie local: de fato, os zi00 definem
precisamente uma tal lei. Isto pode ser elaborado para definir um
supergrupo de Lie como sendo um grupo de Lie cuja álgebra de
Lie é precisamente a subálgebra bosônica
e que possui
estrutura adicional para levar em conta o subespaço fermiônico
.
A outra atitude é continuar considerando os xi e
yi como elementos bosônicos de uma superálgebra supercomutativa
e considerar que o processo de exponenciação gera um supergrupo de Lie formal análogo a um grupo de Lie formal.
Não vamos explorar em profundidade nenhuma destas atitudes. A
híbrida é que prevalece na literatura física e portanto
vamos adotá-la no restante deste capítulo. Apresentamos agora
alguma nomenclatura e algumas convenções da literatura
física. Dada a álgebra
,
o subespaço
gerado por
e
é conhecido como superespaço.
Os xi e os
são conhecidos como coordenadas
do superespaço. Já que um elemento geral da álgebra tem a forma
onde os
são polinômios em
,
dizemos mais geralmente que
é uma
superfunção, ou uma função no
superespaço se é da forma
onde os
são agora simplesmente
funções reais de x e não mais restritos a ser polinômios.
Uma superfunção então é simplesmente uma coleção de
funções reais. O conjunto de superfunções obviamente forma
uma nova álgebra que estende
.
A derivada parcial de
F em relação a xi é definida da maneira natural,
![]() |
(3.11) |
![]() |
(3.12) |
Esta regra, em analogia com a integral de Lebesgue, é adotada para fazer
a integral invariante em relação a translação por qualquer elemento fermiônico
que anticomute com todos os
.
Com isto a integral de
sobre o superespaço fica
bem definido
Finalmente é necessário interpretar o que significaria a
``composição''
Passamos agora a considerar certos exemplos simples.
Seja
de tipo (1,1). Suponha que o único
supercolchete não zero entre os geradores seja
[f,f]s= 2b.
Agora é fácil calcular pela formula de Baker-Campbell-Hausdorff que
É fácil encarar isto ingenuamente como definindo um ``produto de grupo''
Vamos denotar este supergrupo por
.
Servirá como exemplo para o resto deste capítulo.
O produto ingênuo (3.15) deixa muito a desejar.
A medida que
``multiplicamos'' cada vez mais elementos, precisamos introduzir uma
superálgebra
cada vez maior para expressar um
número cada vez maior de ``valores de parâmetros''. Em geral, nenhum
número finito de variáveis pode dar conta da estrutura algébrica
de um supergrupo nesta visão ingênua,
pois, como já vimos, a álgebra de Lie em
gerado por
tem dimensão infinita em geral, e assim, qualquer
``produto de grupo'' de dimensão finito é incapaz de capturar o
conteúdo matemático de um supergrupo. Interpretando xe y como números reais não ajuda pois as variáveis
fermiônicas não podem ser interpretados desta maneira e assim somas
como
não teriam nenhuma interpretação clara.
A literatura física de modo geral simplesmente ignora estes fatos,
pois as regras para fazer cálculos com superalgebras são de qualquer
maneira bastante claras e eficazes. Uma abordagem um pouco mais
sistemática é apresentada em ([DeW])
onde, em primeiro lugar,
introduz-se um estoque infinito de variáveis fermiônicas
e, em segundo lugar, a noção de
número complexo é estendida a tais chamados supernúmeros
que são somas
z= zb+zs onde
e zs é uma
série formal com coeficientes complexos de produtos finitos dos
.
Num gesto poético, zb é chamado o ``corpo'' de
z e zs a ``alma''.
Embora isto produza um cálculo formal bem definido, deixa muito a
desejar quanto a matemática.
Felizmente todas as dificuldades podem ser facilmente resolvidas se interpretamos supegrupos em termos de álgebras de Hopf. Deste ponto de vista se grupos clássicos são álgebras de Hopf comutativas, então supergrupos são superálgebras de Hopf supercomutativas. A álgebra universal envolvente de uma álgebra de Lie é, de uma forma natural, uma álgebra de Hopf cocomutativa na qual o processo de exponenciação para o grupo de Lie formal correspondente é simplesmente a passagem para o dual, que é uma álgebra de Hopf comutativa. O caso de superálgebras de Lie está em perfeita analogia com isto. Não vamos porém desenvolver aqui esta teoria. Veja ([Ko]) para um tratamento da ``supermatemática'' em termos de superálgebras de Hopf.
Agora que chegamos a um entendimento elementar de supergrupos, estamos
prontos para abordar o conceito de supersimetria. Primeiro devemos entender
o que seria uma ação de um supergrupo. Adotando a idéia de que
todos os objetos devem ser entendidos como ``superobjetos'', isto é, a
abordagem inteira deve ser em termos de
-graduação, o
objeto mais simples sobre o qual um supergrupo poderia agir parece ser
o superespaço
.
Na literatura física o
superespaço é descrito como um ``espaço no qual, além de um
conjunto de coordenadas comutativas usuais
,
há também
um conjunto de coordenadas anti-comutativas
''.
Nas teorias físicas os
são considerados
coordenadas de um ponto no espaço-tempo e portanto o superespaço
é visto como uma extensão do espaço tempo. Não vamos tentar
aqui dar qualquer sentido a esta idéia além de puramente metafórico
ou formal, apesar de que a idéia possa ser levada mais a sério. Os
superespaços estão entre os exemplos mais simples de ``geometrias
não comutativas'', mas por serem supercomutativas ainda devem ser
consideradas ``clássicas''.
Vamos abordar aqui uma versão ingênua de ação. Já que os
nossos supergrupos são ``exponenciações'' de superálgebras de
Lie, é natural tentar definir uma ação de um supergrupo
``exponenciando'' uma representação de uma superálgebras de Lie
de tipo (n,m). Sejam
um espaço vetorial
-graduado e
um
homomorfismo de superálgebras. Ingenuamente a ``ação'' de um
``elemento''
do supergrupo sobre um elemento
seria dado
por
.
Como antes, adotando a atitude híbrida
podemos considerar os ti como números reais, mas os
devem ser considerados objetos externos.
Vamos agora construir um ação do nosso supergrupo
.
Como b comuta com tudo, temos que
.
Dado que
,
o
segundo fator é formalmente igual a
.
Assim
![]() |
(3.16) |
Representações em
são mais interessantes. Um
caso particularmente instrutivo é dado por
![]() |
![]() |
![]() |
(3.18) |
![]() |
![]() |
![]() |
(3.19) |
Para apreciar como a física constrói teorias supersimétricas de
campos quânticos, é preciso elaborar um pouco mais as nossa
construções. As teorias física são quase exclusivamente
lagrangianas. Isto quer dizer que são determinadas por um funcional
dos campos. Para simplicidade suponha que
é um campo
escalar e
é um ponto do espaço-tempo com x4sendo o tempo. Seja
a derivada parcial de
em
relação a xi. Uma função de
e das suas
derivadas,
,
onde
é uma função em
,
chama-se uma lagrangiana de
.
A integral
chama-se o funcional ação de
(não confunda este uso da palavra
``ação'' com ação de grupo e outros conceitos semelhantes).
Um campo
é um ponto crítico deste funcional (no sentido
de cálculo de variações) se e somente se satisfaz a equação de Euler-Lagrange:
Considere agora uma ação
de um grupo
de Lie G sobre os campos. Dizemos que a teoria lagrangiana é
simétrica por ação de G se o conjunto de soluções das
equações de Euler-Lagrange é invariante. Em determinadas
condições, para criar uma teoria simétrica, é suficiente que a
ação
seja invariante, isto é
.
É portanto importante poder achar integrais de
funções de campos e suas derivadas que são invariantes por
ação de grupos de Lie. Este é um assunto próprio já
suficientemente sofisticado que não podemos abordar aqui. Apresentamos
somente um exemplo simples. Seja
uma
1-forma em
e seja G o grupo
de
rotações que age sobre A de modo usual de mudança de
coordenadas, a saber, se
então
.
Em termos de componentes
(A1,A2,A3) temos então
.
Usando o produto interno
usual em
como métrica Riemanniana, fica óbvio que a
integral de ||A||2 e ||dA||2 são invariantes por esta ação
e que a integral de A12 não o é. No caso particular de
,
temos a lagrangiana
com a equação de
Euler-Lagrange sendo
.
Teorias supersimétricas são aquelas cujo funcional S é invariante sob ação de supergrupos. Os campos agora são funções definidos não no espaço-tempo mas no superespaço que estende espaço-tempo. Aparece porém mais uma consideração que também vem da física quântica. Como já falamos, existem dois tipos de campos quânticos fundamentais, os bosônicos e os fermiônicos. O valor do campo no superespaço portanto também deve pertencer a um superespaço, isto é, poderia ter componentes bosônicos e fermiônicos.
Retornamos ao nosso simples exemplo em
.
Por uma
função neste superespaço
nós já
entendemos uma expressão
onde f e gsão funções reais. Agora devemos considerar que
e
onde
e
são fermiônicos. Com isto, e com a idéia que estamos ainda lidando
com a situação clássica, e tomando a atitude híbrida,
podemos considerar que F e G são funções reais mas que
e
pertencem a uma superalgebra supercomutativa
sem que haja qualquer relação entre estes elementos além de
anticomutatividade. Ou seja, estamos contemplando uma superálgebra
supercomutativa com um número não enumerável de geradores
fermiônicos, a saber, alem do
todos os
e
para
.
A literatura
física diz que
e
são campos com ``valores
grassmanianos''. Como base de regras formais de reescrita isto não deve
causar nenhuma objeção, mas a interpretação destes objetos
dentro de construções matemáticas mais estruturadas ainda é um
ponto polêmico ([Sc]).
O nosso supergrupo
age sobre
pela regra
(3.17), mas devemos também considerar que possa agir sobre os
``componentes''
em cada ponto como acontece com a
ação de SO(3) sobre os componentes de uma 1-forma, como
discutido acima. Assim por exemplo a ação
do ``elemento''
de
,
seria dado por
Neste ponto podemos esquecer os passos que levaram a esta
integral e simplesmente considerá-lo como o funcional de um problema de
cálculo de variações clássico cujas equações de Euler-
Lagrange são
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(3.22) |
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(3.23) |
Toda a máquina de supersimetria agora desapareceu e podemos encarar a supersimetria como simplesmente uma maneira de construir lagrangianas. As propriedade marcantes de sistemas físicos supersimétricos somente aparecem na teoria quântica, portanto equações acima são muito sem graça. O exemplo também é muito simplificado. O que é extraordinário é que os sistemas assim construídos por meio de supersimetria que estendem a simetria clássica do espaço-tempo não só constituem candidatos muito atraentes para teorias físicas básicas, mas também têm fornecido instrumentos para novas descobertas na matemática pura como invariantes de nós, tranças e variedades de dimensão três e quatro.
Podemos agora, pelo menos em palavras, resumir o que são as teorias físicas supersimétricas. São sistemas lagrangianos de campos físicos que podem ser descritos da seguinte maneira:
Uma lagrangiana é supersimétrica se é invariante por um conjunto
de regras de reescrita. Embora o funcional ação de um conjunto de
campos seja escrito como
,
para saber se isto é supersimétrico ou não, não é
necessário interpretar nem os campos, nem as coordenadas no
superespaço, nem a integral. Não é necessário saber o que são estas coisas. Temos simplesmente uma expressão, mais
sofisticada que o nosso xy no início, é verdade, mas nada
essencialmente diferente. A expressão é invariante por um conjunto
de regras de reescrita que são ditadas por uma superálgebra de Lie.
Eis a supersimetria neste nível. Uma vez que a teoria é quantizada, a
superalgebra de Lie que deu lugar ao conjunto de regras de reescrita
agora se incorpora numa superálgebra de Lie de simetrias
infinitesimais, e esta superálgebra de operadores traz
conseqüências extraordinárias para a teoria quantizada. Isto não
é mais formal mas concreto. Nisto temos o próprio milagre de
supersimetria e a sua beleza tão admirada pelos físicos.