Re: Sobre series e somas

[Eduardo Wagner <wagner@xxxxxxx>]

Caro duda:

	A serie: soma(1/n^r) diverge para r = 1 (serie harmonica)
mas converge para  r maior que 1.
	Conselho para os interessados. Eh muito bom perceber que voces
estao tentando (e conseguindo) descobrir coisas. Entretanto, para
acelerar a satisfacao das suas curiosidades, sugiro que leiam um livro
de Analise. Voces poderao nao so resolver duvidas como esta como tambem
aprender toneladas de coisas interessante. Uma referencia eh o livro
de Analise (vol 1) do Prof. Elon Lages Lima, que pode ser adquirido
na SBM (entre em contato com "sbm@impa.br")
Abraco,
		Wagner.





>    Sobre aquela serie que falaram na lista certa vez, (-1)^n, a soma dos
>termos, com n naturais, varia em 1, e 0, sucessivamente : 1,0,1,0,1,0,...
>alguem falou que Euler acreditava que poderiamos tomar o limite como uma
>media aritmetica entre 0 e 1. Depois disseram que era uma piada, pois a
>serie nao convergia a 1/2. Aprendi que o nome desse tipo de serie eh
>impropriamente divergente, ao contrario de outras que tendem a +infinito,
>que sao propriamente divergentes.
>    Agora vem a parte interessante.
>    Dada uma serie a1, a2, a3, a4, a5, a6,.... Com a1>a2>a3>a4>..., ou
>generalizando ak>a(k+1), para qualquer k natural. Bem, estava tentando ver
>quando a soma dos termos da serie converge e quando ela diverge. Todos ja
>devem saber que para a1=1, a2=1/2, a3=1/4,... ou genericamente para
>a(k+1)=ak/2, a soma a1+a2+a3+... converge para 2.
>    Um outro exemplo. a1=1, a2=1/2, a3=1/3,... ou genericamente ak=1/k. A
>soma a1+a2+a3+a4+... parece nao divergir para o infinito, porem ele
>diverge. Fiquei pensando o que diferenciava essas duas series, ou seja,
>tentei determinar quando uma serie onde os termos vao diminuindo converge
>e quando ela converge. Cheguei a uma conclusao, que deve estar certa, mas
>que anuncio para voces, e espero que alguem comente:
>    Sendo os termos decrescentes, a1, a2, a3, ... A serie (soma dos
>termos) ira convergir para um valor determinado se e somente se a1/a2 <=
>a2/a3 <= a3/a4 <=a4/a5 ... genericamente an/a(n+1) <= ak/a(k+1) , para
>todo e qualquer k>n. Em caso contrario, ou seja quando a1/a2 > a2/a3 >
>a3/a4 > a4/a5... a serie diverge para o infinito.
>    Ou seja, quando a razao dos termos consecutivos for diminuindo ou se
>mantiver constante a serie converge. E quando a razao dos termos
>consecutivos for aumentando a seria divergira para o infinito. (espero que
>esteja certo)
>
>duda