Sobre series e somas

["Eduardo Casagrande Stabel" <duda@xxxxxxxxxx>]

    Sobre aquela serie que falaram na lista certa vez, (-1)^n, a soma dos termos, com n naturais, varia em 1, e 0, sucessivamente : 1,0,1,0,1,0,... alguem falou que Euler acreditava que poderiamos tomar o limite como uma media aritmetica entre 0 e 1. Depois disseram que era uma piada, pois a serie nao convergia a 1/2. Aprendi que o nome desse tipo de serie eh impropriamente divergente, ao contrario de outras que tendem a +infinito, que sao propriamente divergentes.
    Agora vem a parte interessante.
    Dada uma serie a1, a2, a3, a4, a5, a6,.... Com a1>a2>a3>a4>..., ou generalizando ak>a(k+1), para qualquer k natural. Bem, estava tentando ver quando a soma dos termos da serie converge e quando ela diverge. Todos ja devem saber que para a1=1, a2=1/2, a3=1/4,... ou genericamente para a(k+1)=ak/2, a soma a1+a2+a3+... converge para 2.
    Um outro exemplo. a1=1, a2=1/2, a3=1/3,... ou genericamente ak=1/k. A soma a1+a2+a3+a4+... parece nao divergir para o infinito, porem ele diverge. Fiquei pensando o que diferenciava essas duas series, ou seja, tentei determinar quando uma serie onde os termos vao diminuindo converge e quando ela converge. Cheguei a uma conclusao, que deve estar certa, mas que anuncio para voces, e espero que alguem comente:
    Sendo os termos decrescentes, a1, a2, a3, ... A serie (soma dos termos) ira convergir para um valor determinado se e somente se a1/a2 <= a2/a3 <= a3/a4 <=a4/a5 ... genericamente an/a(n+1) <= ak/a(k+1) , para todo e qualquer k>n. Em caso contrario, ou seja quando a1/a2 > a2/a3 > a3/a4 > a4/a5... a serie diverge para o infinito.
    Ou seja, quando a razao dos termos consecutivos for diminuindo ou se mantiver constante a serie converge. E quando a razao dos termos consecutivos for aumentando a seria divergira para o infinito. (espero que esteja certo)

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