Problemas interessantes e tal

["Lucas" <mocelim@xxxxxxxxxx>]

Caros,

aí vão os 5 problemas que eu criei esta semana (sem saber a resposta, eu
inventei ao acaso, sem ficar uma hora pensando. Eu demorei 5 minutos para
criá-los, pois criar é barbada, difícil é resolver!)


PROBLEMA 1

Mostre todos os pares (a,b) de inteiros positivos tais que 1999a + 1999b
divide
a^2 + b^2 + a^2.b^2 .

PROBLEMA 2

Uma função F: N ® N subtrai de todos os números de 4 dígitos a soma dos
quadrados de seus dígitos. Determinar o menor número n de 4 algarismos tal
que F(n) = 1999.

PROBLEMA 3

Sejam ABCD um quadrado, M, N, P e Q os pontos médios dos lados AB, DC, AD e
BC e E um ponto qualquer de um dos lados do quadrado tal que os triângulos
MNE e PQE sejam retângulos e o ângulo AÊC seja agudo. Dado que a área de
ABCD é 16, calcule as áreas dos triângulos MPE e NQE.

PROBLEMA 4

Considere dois números inteiros positivos menores que 1999. Dizemos que eles
são gêmeos se o produto deles mais a sua soma mais a sua diferença é igual a
um múltiplo de 7 ou 13. Determine quantos pares de números gêmeos existem.

PROBLEMA 5

Escrevemos num quadro três naturais a, b e c. a é múltiplo de 11; b é
múltiplo de 111; e c é múltiplo de a + b. Depois, subtraímos o menor número
do maior. Sobrarão apenas dois números; apagamo-os do quadro e escrevemos a
diferença entre o maior e o menor. É possível que este número seja divisível
por a, b ou c ?

Os problemas 2 e 4 são fáceis. Os outros são bem difíceis (pra mim). Não vou
dizer a resposta, vou deixar vcs pensarem.

Obs.: O que acharam das minhas fórmulas? Elas são conhecidas? Ah, e estou
esperando que vcs me digam o nome de um bom livro de matemática de ensino
médio para mim ler e aprender mais (o livro deve ter uma linguagem acessível
e preparar o leitor pra uma Obm).

[]'s

Lucas