Re: problema

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Wed, 7 Jul 1999 albert.bouskela@imagelink.com.br wrote:

> >mas se vc calcular o fatorial de :
> >2.5! = 3,32335097044784255118406403126465
> >3.2!= 7,7566895357931776386947595830099
> >
> >isso de acordo com a calculadora do windows
> >
> >uma coisa:
> >tambem de acordo com o win
> >0.5! = 0,886226925452758013649083741670573
> >(pi)^(1/2)=1,77245385090551602729816748334115
> >
> >E o interessante é que o computador leva até 5 segundos em media calculando
> 
> >esses fatoriais.
> 
> Heleno:
> 
> Está tudo correto, porém sem qq. rigor matemático, veja:
> 
> Gama(n+1)=n!  , assim:
> 
> Gama(0,5)=raiz(pi) e, por EXTRAPOLAÇÃO (sem qq. rigor matemático):
> 
> (-0,5)!=raiz(pi)
> 
> Na verdade, o q. as calculadoras fazem para chegar a um valor de n! 
> qdo. n não é natural equivale a calcular o valor da função Gama para 
> (n+1) ; o q. só pode ser feito somando os termos de uma série 
> teoricamente infinita, por isso o cálculo é demorado. 
> Isto tem utilidade prática, todavia não tem rigor matemático: 
> n! refere-se a um número n , INTEIRO e positivo.
> 
> Sds.,
> 
> Albert.

Conferi as contas no Maple:

> evalf(GAMMA(0.5),50);
              1.7724538509055160272981674833411451827975494561224

> evalf(GAMMA(1.5),50);
              .88622692545275801364908374167057259139877472806119

> evalf(GAMMA(2.5),50);
              1.3293403881791370204736256125058588870981620920918

> evalf(GAMMA(3.5),50);
              3.3233509704478425511840640312646472177454052302295

> evalf(GAMMA(4.2),50);
              7.7566895357931776386947595830098952250022722531165

> evalf(GAMMA(4.1210821427051354901145997636127819713792470164075),50);
              7.0000000000000000000000000000000000000000000000007


O que eu não concordo é com este ponto de vista de dizer que
a afirmação (-1/2)! = Pi^(1/2) é algo "sem rigor matemático".
Quem define a função fatorial somos nós, e nós podemos usar
o domínio que nos parecer mais interessante. Tanto a definição
via integrais quanto a definição via limites permitem definir
z! para qualquer número complexo z, com a ressalva que z! = infinito
se z é um inteiro estritamente negativo. Em todos os outros pontos
z do plano complexo z! é um número complexo muito bem definido.
Nada nos impede de dar definições ainda mais gerais, por exemplo,
de fatorial de uma matriz: se 

                                [-99/2     21]
                           A =  [            ]
                                [-245/2    52]

eu sugeriria dizer que

                      [           1/2              1/2 ]
                      [-84 + 15 Pi        36 - 6 Pi    ]
                A! =  [                                ].
                      [            1/2              1/2]
                      [-210 + 35 Pi       90 - 14 Pi   ]


Alguém adivinha por que motivo? E se

                               [1 1]
                           B = [   ]
                               [0 1]

quanto valeria "B!" ?


A demonstração de que (-1/2)! = Pi^(1/2) não foi apresentada aqui:
segue uma demonstração baseada na definição via limites e na fórmula
de Stirling

n! ~ n^n e^(-n) sqrt(2 Pi n)

onde o ~ significa que o limite do quociente quando n -> +infinito
é 1.

Temos

((2n-1)/2)! = (-1/2)! (1/2) (3/2) ... ((2n-1)/2) ~ n!/sqrt(n)

Donde

(-1/2)! = n!/( sqrt(n) (1/2) (3/2) ... ((2n-1)/2) )
        = 2^n n!/( sqrt(n) 1 * 3 * ... * (2n-1) )
        = 2^n n! (2 * 4 * ... * (2n))/(sqrt(n) 1 * 2 * ... * (2n))
        = 4^n (n!)^2 / ( sqrt(n) (2n)! )
        ~ 4^n (n^n e^(-n) sqrt(2 Pi n))^2
            / (sqrt(n) (2n)^(2n) e^(-2n) sqrt(2 Pi 2n))
        = sqrt(Pi)

Também pode-se demonstrar este fato via integrais, mas fica para outra
mensagem...

[]s, N.
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau