Re: Função de Mobius

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Sun, 4 Jul 1999, Paulo Santa Rita wrote:

> Existe uma função, chamada "função de Mobius" que pode ser definida como 
> segue :
> 
> Dado  um natural N, Decompondo-o em seus fatores primos:
> 1) Se a decomposição tiver algum fator (dois 2's, dois 3's etc) duplicado, 
> então Mobius(N) = 0
> Ex: 12= 2x2x3 => Mobius(12) = 0
> 2) Se a decomposição tiver uma quantidade par de fatores, então Mobius(N) = 
> 1
> Ex: 6=2x3 => Mobius(6) = 1
> 3)Se a decomposição tiver uma quantidade impar de fatores, então Mobius(N) = 
> -1
> Ex: 30=2x3x5 => Mobius(30) = -1
> Ora, a probabilidade de que um numero escolhido ao acaso não seja um 
> multiplo de 4 é 3/4; a probabilidade de se não seja um multiplo de 9 é 8/9; 
> a probabilidade de que não seja um múltiplo de 25 é 24/25 e assim 
> sucessivamente. Com o estas probabilidades são independentes, segue que a 
> probabilidade de que a decomposição de um numero N escolhido ao acaso tenha 
> fator primo duplicado, ou seja, a probabilidade de que Mobius(N) não seja 
> zero é o produto infinito: (3/4)x(8/9)x(24/25)x(48/49)x ...
> 
> Este produto, não obstante seja infinito, pode ser calculado( é uma 
> consequencia de um resultado anterior de Euler) e vale 6/(pi^2).
> 
> Ora, se Mobius(N) não é zero, então Mobius(N) = 1 ou Mobius(N)=-1. Portanto, 
> a probabilidade de um numero N, escolhido ao acaso, não ter fator primo 
> duplicado é 6/(pi^2). Se tomarmos P numeros ao acaso e somarmos e 
> adicionarmos os valores da função Mobius, para onde tenderiamos ? para um 
> número muito Grande ? ( A maioria teria valor mobius = 1). Para um número 
> muito Pequeno ? ( A maioria teria mobius = -1). Ou teriamos um valor próximo 
> de zero ? ( Maioria com mobius = 0 )
> 
> Em verdade, um teorema de probabilidade, chamada de desigualdade de 
> hausdorff, estabelece que a soma acima não podera crescer mais radido que 
> kP^(1/2 + e), onde "k" e "e" são constantes e "P" a quantidade de numeros 
> escolhidos ao acaso

Com k = 1 e e = 1/2 o resultado é trivial.

Isto de tomar números naturais "ao acaso" precisa ser melhor explicado.
Se tomarmos todos os inteiros de 1 a P, ninguém sabe provar que o
resultado é válido para algum valor menor de e (digamos e = 0,499999).
A hipótese de Riemann diz que o resultado *é* válido para qualquer e > 0.B

> Este resultado é muito interessante. Por que ? Porque ele esta relacionado 
> com um dos mais famosos problemas sem solução da matematica contemporanea 
> ... Existe uma função, chamada função zeta, e Rieman conjeturou que todos os 
> zeros da função zeta tem parte real igual a 1/2. Ninguem ainda consegiu 
> provar esta conjetura, não obstante tenha se mostrado que os primeiros 
> 70000000 tem parte real igual a 1/2 e Hardy ter demonstrado que há infinitos 
> zeros com parte real igual a 1/2. O QUE NÃO SE SABE E SE TODOS OS ZEROS TEM 
> PARTE REAL IGUAL A 1/2.
> Pois bem, demonstra-se que se a SOMA DA FUNÇÃO DE MOBIUS ACIMA não crescer 
> mais rapido que um multiplo de N^(1/2+e) quando N tende ao infinito então 
> TODOS OS ZEROS DA FUNÇÃO ZETA TEM PARTE REAL IGUAL A 1/2.
> Fantástico, não ? Esta provado que se ESCOLHERMOS N NUMEROS AO ACASO, A SOMA 
> DA FUNÇÃO DE MOBIUS NÃO CRESCE MAIS RAPIDO QUE UM MULTIPLO DE N^(1/2+e).
> Não se aceita esta prova simplesmente porque ela fala em ESCOLHER N NUMEROS 
> AO ACASO.

Se a distribuição dos valores não nulos da função de Möbius for semelhante
a uma distribuição aleatória, então vale a hipótese de Riemann.
Ou melhor, a hipótese de Riemann afirma (em outra linguagem)
que esta distribuição é semelhante à aleatória.
Mas isto é justamente o que parece ser verdadeiro mas não se sabe
demonstrar.

> Good e Churchhouse afirmam que a prova da soma de mobius usando a desigualde 
> probabilista de Hausdorff é o mesmo que afirmar que a conjetura de Rieman 
> tem probabilidade 1 de ser um teorema.
> Acho muito interessante que seja possivel apresentar argumentos de 
> probabilidade que reforçam a nossa certeza sobre a veracidade de um teorema. 
> O exemplo acima foi o unico que encontrei (Li num artigo do Scientican 
> American ) neste sentido.
> 
> 1)Pediria ao mestres que frequentam esta lista que apresentem outros 
> exemplos neste sentido, vale dizer, que mostrem como, com raciocinios de 
> probabilidade simples podemos aumentar a nossa certeza sobre a veracidade de 
> determinados teoremas ou suposições.
> 
Existem realmente muitos outros casos de argumentos probabilísticos
serem usados para reforçar a plausibilidade de conjecturas.

Um exemplo que me ocorre é o problema 3n+1, já mencionado nesta lista:
defina f(n) = n/2 se n é par e f(n) = 3n+1 se n é ímpar.
Defina f^k(n) = f(f(...f(n)...)) com k f's.
Conjectura-se que para todo inteiro n > 1 existe k com f^k(n) = 1.
Isto já foi verificado para muitos valores de n, mas ninguém sabe
demonstrar o teorema. Mas se modificarmos um pouco o problema
dizendo que se n é ímpar então tomamos 3n+1 ou 3n+3, cada um com
probabilidade 1/2, então é fácil mostrar que o valor 1 será assumido
infinitas vezes com probabilidade 1.

Outra conjectura é a de que existem infinitos primos de Mersenne.
Se postularmos que para cada primo p temos que a probabilidade de 2^p - 1
ser primo é pelo menos 1/log(2^p - 1), então podemos demonstrar a
conjectura. Este "postulado" é motivado pelo teorema dos números primos:
a proporção de primos até N é 1/log(N). Na verdade, por um raciocínio
meio frouxo,  2^p - 1 têm maior probabilidade de ser primo do que um
inteiro "típico" de seu tamanho, pois demonstra-se (exercício)
que se q é um fator primo de 2^p - 1 então q é da forma pk+1.  

> 2)Gostaria tambem de ver alguem falar sobre o teorema da distribuição dos 
> numeros primos e sobre a relação dele com a função zeta de Riemam. Alias, se 
> tivermos certeza de que a parte real dos zeros da função é sempre 1/2, de 
> que maneira nossa compreensão sobre a distribuição dos primos ficara mais 
> perfeita ?

Afirmações sobre a distribuição dos valores da função de Möbius são
indiretamente afirmações sobre distribuição de primos. Mais diretamente,
o teorema dos números primos afirma que o número de primos até N é
aproximadamente Li(N), onde

Li(x) = C + \int_2^x 1/log(t) dt (integral de 2 a x de...)

para uma certa constante universal C.
A questão é o tamanho do erro desta aproximação:
o erro é muito menor se a hipótese de Riemann for correta.

Vários detes temas estão discutidos no livro do Gugu e meu,
"Primos de Mersenne", referência para um mini-curso do Colóquio
de Matemática que deve ocorrer na última semana de julho.
Em breve haverá uma versão on-line do livro.


[]s, N.
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau