Função de Mobius

[Paulo Santa Rita <p_ssr@xxxxxxxxxxx>]

>From: "Nicolau C. Saldanha" <nicolau@mat.puc-rio.br>
>Reply-To: obm-rj@mat.puc-rio.br
>To: obm-rj@mat.puc-rio.br
>Subject: Re: Primos
>Date: Sat, 3 Jul 1999 13:58:31 -0300 (EST)
>composto tem probabilidade no máximo 1/4 de enganar o teste acima
>(em uma tentativa). Se repetirmos o teste, digamos, 20 vezes,
>a probabilidade de termos um falso primo é menor do que 10^(-12).

Existe uma função, chamada "função de Mobius" que pode ser definida como 
segue :

Dado  um natural N, Decompondo-o em seus fatores primos:
1) Se a decomposição tiver algum fator (dois 2's, dois 3's etc) duplicado, 
então Mobius(N) = 0
Ex: 12= 2x2x3 => Mobius(12) = 0
2) Se a decomposição tiver uma quantidade par de fatores, então Mobius(N) = 
1
Ex: 6=2x3 => Mobius(6) = 1
3)Se a decomposição tiver uma quantidade impar de fatores, então Mobius(N) = 
-1
Ex: 30=2x3x5 => Mobius(30) = -1
Ora, a probabilidade de que um numero escolhido ao acaso não seja um 
multiplo de 4 é 3/4; a probabilidade de se não seja um multiplo de 9 é 8/9; 
a probabilidade de que não seja um múltiplo de 25 é 24/25 e assim 
sucessivamente. Com o estas probabilidades são independentes, segue que a 
probabilidade de que a decomposição de um numero N escolhido ao acaso tenha 
fator primo duplicado, ou seja, a probabilidade de que Mobius(N) não seja 
zero é o produto infinito: (3/4)x(8/9)x(24/25)x(48/49)x ...

Este produto, não obstante seja infinito, pode ser calculado( é uma 
consequencia de um resultado anterior de Euler) e vale 6/(pi^2).

Ora, se Mobius(N) não é zero, então Mobius(N) = 1 ou Mobius(N)=-1. Portanto, 
a probabilidade de um numero N, escolhido ao acaso, não ter fator primo 
duplicado é 6/(pi^2). Se tomarmos P numeros ao acaso e somarmos e 
adicionarmos os valores da função Mobius, para onde tenderiamos ? para um 
número muito Grande ? ( A maioria teria valor mobius = 1). Para um número 
muito Pequeno ? ( A maioria teria mobius = -1). Ou teriamos um valor próximo 
de zero ? ( Maioria com mobius = 0 )

Em verdade, um teorema de probabilidade, chamada de desigualdade de 
hausdorff, estabelece que a soma acima não podera crescer mais radido que 
kP^(1/2 + e), onde "k" e "e" são constantes e "P" a quantidade de numeros 
escolhidos ao acaso

Este resultado é muito interessante. Por que ? Porque ele esta relacionado 
com um dos mais famosos problemas sem solução da matematica contemporanea 
... Existe uma função, chamada função zeta, e Rieman conjeturou que todos os 
zeros da função zeta tem parte real igual a 1/2. Ninguem ainda consegiu 
provar esta conjetura, não obstante tenha se mostrado que os primeiros 
70000000 tem parte real igual a 1/2 e Hardy ter demonstrado que há infinitos 
zeros com parte real igual a 1/2. O QUE NÃO SE SABE E SE TODOS OS ZEROS TEM 
PARTE REAL IGUAL A 1/2.
Pois bem, demonstra-se que se a SOMA DA FUNÇÃO DE MOBIUS ACIMA não crescer 
mais rapido que um multiplo de N^(1/2+e) quando N tende ao infinito então 
TODOS OS ZEROS DA FUNÇÃO ZETA TEM PARTE REAL IGUAL A 1/2.
Fantástico, não ? Esta provado que se ESCOLHERMOS N NUMEROS AO ACASO, A SOMA 
DA FUNÇÃO DE MOBIUS NÃO CRESCE MAIS RAPIDO QUE UM MULTIPLO DE N^(1/2+e).
Não se aceita esta prova simplesmente porque ela fala em ESCOLHER N NUMEROS 
AO ACASO.
Good e Churchhouse afirmam que a prova da soma de mobius usando a desigualde 
probabilista de Hausdorff é o mesmo que afirmar que a conjetura de Rieman 
tem probabilidade 1 de ser um teorema.
Acho muito interessante que seja possivel apresentar argumentos de 
probabilidade que reforçam a nossa certeza sobre a veracidade de um teorema. 
O exemplo acima foi o unico que encontrei (Li num artigo do Scientican 
American ) neste sentido.

1)Pediria ao mestres que frequentam esta lista que apresentem outros 
exemplos neste sentido, vale dizer, que mostrem como, com raciocinios de 
probabilidade simples podemos aumentar a nossa certeza sobre a veracidade de 
determinados teoremas ou suposições.

2)Gostaria tambem de ver alguem falar sobre o teorema da distribuição dos 
numeros primos e sobre a relação dele com a função zeta de Riemam. Alias, se 
tivermos certeza de que a parte real dos zeros da função é sempre 1/2, de 
que maneira nossa compreensão sobre a distribuição dos primos ficara mais 
perfeita ?









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