Re: pitágoras: explicação

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Sat, 26 Jun 1999, Benjamin Hinrichs wrote:

> Hola todos,
> devido as dúvidas do Listmaster (o Saldanha... acho que os anos no
> exterior o fizeram mal), vou reescrever minha mensagem, já que o
> sabe-tudo não comprende a linguagem dos pobres mortais.
> Tem-se alguns triângulos retângulos com os lados inteiros. O mais
> famoso, 3, 4 e 5. Outro, menos conhecido, 5, 12 e 13. Do primeiro
> triângulo, chamei o 3 de "a", o 4 de "b" e o 5 de "c". Feito isto (meu
> deus, que trabalheira que deu...), pus-me a trabalhar em estabelecer uma
> relação lógica entre a, b e c. Esta demorou um tempo.

Continuei sem entender. A relação é a^2 + b^2 = c^2.
Você está tentando provar esta relação ou tentando usá-la para provar
alguma outra coisa? Se for este o caso, o que você está tentando provar?

> Porém, entre b e c
> foi simples. Ora, a diferença entre b e c é sempre 1, logo 
> b + 1 = c

Para estes dois exemplos sim. Mas considere

39^2 + 80^2 = 89^2
85^2 + 132^2 = 157^2
145^2 + 408^2 = 433^2

e posso continuar gerando exemplos assim aos montes com
a = u(v^2 - w^2), b = 2uvw, c = u(v^2 + w^2).

> Ótimo, outra relação que eu já sabia, a^2 + b^2 = c^2, juntei as duas e
> deu em a^2 + b^2 = (b +1)^2, logo a^2 + b^2 = b^2 + 2b + 1.
> Finalmente, depois de horas, já fazendo outras coisas foi que concluí
> que, já que 3^2 = 4 + 5, 5^2 = 12 + 13 que a^2 = b + c e como c = b + 1,
> a^2 = b + (b + 1), portanto a^2 = 2b + 1.

Isto tudo está correto para a família de soluções da forma
u = 1, v = w+1
mas já vimos que existem muitas outras.

> Sendo assim, inseri isto na
> equação conhecida por todos (a^2 + b^2 = c^2), mas modificada por mim
> (a^2 + b^2 = b^2 + 2b + 1), ficando então (2b + 1) + b^2 = b^2 + 2b + 1;
> Para isto ser igual (na verdade já é, ...), mude a ordem dos fatores e
> será bem igual.

Deu certo, ótimo. Você encontrou uma família de soluções inteiras
para a equação a^2 + b^2 = c^2. Era este o objetivo?

> OBS: a < b < c, a/2 -E- N (a/2 não pertence aos Naturais, ou seja, a é
> ímpar), b/2 E N (b/2 pertence aos naturais, logo, b é par) e c/2 -E- N,
> a E N, b E N, c E N.

Os exemplos que eu dei acima satisfazem a estas condições mas não
fazem parte da família de soluções que você encontrou.

> Espero que esta linguagem lhe seja acessível. Caso contrário, escreva-me
> denovo que eu te explico cada décimo de passo.

Não acho que seja questão de explicar passos e sim de deixar mais clara
a idéia geral.

[]s, N.
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau