Re: pitágoras acertou

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxx>]

On Fri, 25 Jun 1999, Benjamin Hinrichs wrote:

> Olá a todos,
> prometera um prova do teorema de Pitágoras, pois aí vai.
> Lembram na 1a. fase da OBM, no ano passado? Pois é, lá havia uma
> seqüência:
> 3^2 + 4^2 = 5^2
> 5^2 + 12^2 = 13^2
> 7^2 + 24^2 = 25^2
> 9^2 + 40^2 = 41^2
> ...
> Poucas semanas atrás, minha irmã redescobriu a mesma seqüência, e eu a
> estudei um pouco. Mas demorei até estabelecer algumas relações:
> Sendo a, b os catetos e c a hipotenusa tal que a < b < c e a,b,c / N
> (a,b,c pertencem aos naturais). Consegui estabelecer as seguintes
> relações:
> a^2 + b^2 = c^2
> c = b + 1
> a^2 = b + c
> Portanto:
> (b + c) + b^2 = (b + 1)^2
> b + (b + 1) + b^2 = b^2 + 2b + 1
> 2b + 1 + b^2 = b^2 + 2b + 1
> 
> Taí, provei... legal, né. Aguardo comentários dos mestres e aprendizes.

Achei muito confuso.  O que exatamente você está tentando provar?
Aliás, as soluções inteiras da equação 

a^2 + b^2 = c^2

são

a = u(v^2 - w^2)
b = 2uvw
c = u(v^2 + w^2)

com u, v e w inteiros. É só substituir para ver que com estes valores
de a, b e c sempre vale a^2 + b^2 = c^2. O que é um pouco mais difícil
é demonstrar que *toda* solução inteira de a^2 + b^2 = c^2 é desta forma
(a menos de trocar a e b).

Um exemplo: se tomamos u = 1, v = 4 e w = 1 temos
a = 15, b = 8, c = 17

[]s, N.  
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau