Re: Exercicios

[Eduardo Wagner <wagner@xxxxxxx>]

>       Elon, de Curitiba PR.   Gostaria de ver uma solucao para os
>exercicios abaixo.  
>--------------------------------------------------------------------------------
>------------------------------------------------------------------- 2.
>Seja

>6. Considere un
>triangulo acutangulo ABC, e seja
>X um ponto do plano do triangulo.
>Sejam
>M, N e
>P as projecoes ortogonais de
>X sobre as retas que contem as alturas do
>triangulo ABC. Determinar para que posicoes de
>X o triangulo
>MNP eh congruente a
>ABC.
>
>

Sejam AA', BB' e CC' as alturas do triângulo ABC e seja H seu ortocentro.
Os pontos M, N e P pertencem à circunferência de diâmetro XH porque
XMH = XNH = XPH = 90 (graus). Entao, PMN = PHN = 180 - C'HB' = A.
Analogamente, concluímos que MPN = C e que PNM = B. Portanto, o triângulo
MNP é sempre semelhante a ABC, e serão congruentes, se suas circunferências
circunscritas forem iguais. Seja R o raio da circunferência circunscrita ao
triângulo ABC. Como XH é o diâmetro da circunferência circunscrita a MNP,
concluímos que XH = 2R. Assim, os triângulos MNP e ABC serão congruentes
se, e somente se, X pertence a uma circunferência de centro H e raio 2R.

Abraco, Wagner.