Re: Exercicios

[Ralph Costa Teixeira <ralph@xxxxxxxxxxxxxxx>]

	Eu acho que posso ajudar com 2. Dou esboços, fique à vontade para pedir
mais detalhes se necessários.

> 2. Seja C uma circunferencia de centro O, AB um diametro dela e R um
> ponto qualquer em C distinto de A e de B.
> Seja P a intersecao da perpendicular tracada por O a AR.
> Sobre a reta OP se marca o ponto Q, de maneira que QP eh a metade de
> PO e Q nao pertence ao segmento OP.
> Por Q tracamos a paralela a AB que corta a retAR em T.
> Chamamos de H o ponto de intersecao das retas AQ e OT.
> Provar que H, R e B sao colineares.

Trace uma figura.

Solução 1 (esboço):

Pode-se usar o Teorema de Menelaus. Ele diz que, se ABC é um triângulo e
M, N, P sao pontos nas retas BC, AC e AB respectivamente, então M, N e P
são colineares se e somente se

(MB/MC) . (NC/NA) . (PA/PB) = 1

(MB, MC, etc. são os comprimentos dos segmentos MB, MC, etc.; para ser
exato, devemos também ver quantas das seguintes condições são ok: M \in
segmento BC, N \in segmento AC, P \in segmento AB; se 0 ou 2 dessas
valem, podemos aplicar o teorema; senão,  M, N e P não são colineares)

Use tal teorema para o triângulo AOT com pontos H, R e B. Veja se você
consegue mostrar que

HT/HO = 1/2 (use semelhanças para notar que QT=AO/2, então olhe para HQT
e HAO)
RA/RT = 4/1 (mais fácil um pouco)
BO/BA = 1/2 (imediato)

Daí (HT/HO).(RA/RT).(BO/BA) = 1 e, por Menelaus, H, R e B são
colineares.

Solução 2 (esboço):

i) Prove que AQ=QH. De fato, Q e T são pontos médios de AH e OH,
respectivamente (veja HT/HO=1/2 na solução 1)

ii) Considere a interseção de AQ com BR (digamos, J). Mostre que AQ=QJ.
De fato, como OQ//BR e O é médio de AB, não é difícil ver que Q é médio
de AJ.

De (i) e (ii), como H e J estão sobre AQ, H==J.

	Depois eu tento o 6...