Mais questões olímpicas

[Paulo Santa Rita <p_ssr@xxxxxxxxxxx>]

Parece que a turma gosta de geometria. Aqui estão três questões olimpicas 
relacionadas.

1) Um polígono convexo de N lados é tal que :
   1.1 ) Não tem dois lados paralelos
   1.2 ) Não tem duas diagonais paralelas
   Quantos pontos no Exterior do polígono são pontos de intersecção de 
diagonais ?
Nota: supor que não há ponto no exterior que seja de interseção de tr~es ou 
mais diagonais.

2 )Prove que, com duas cores, é possivel colorir os pontos de uma 
circunferencia de forma que todo triangulo retangulo nela inscrito não tenha 
dois vertices pintados com a mesma cor.

3)Imagine uma "mesa de sinuca circular". Qual o lugar geometrico dos pontos 
( com direções ) tais que uma bola colacada em qualquer deles, após um 
numero finito de reflexões nas bordas, tornará a passar por ele ? Nota: 
suponha que os choques nas bordas são perfeitamente elásticos.

Abraçõs.

Com os melhores votos de Paz Profunda
sou

Paulo Santa Rita
6,1013,110699
>From: Eduardo Wagner <wagner@impa.br>
>Reply-To: obm-rj@mat.puc-rio.br
>To: obm-rj@mat.puc-rio.br
>Subject: Re: Problemas
>Date: Thu, 10 Jun 1999 23:42:12 -0300
>
> >SaudaÁžes !
> >
> >TrÍs Problemas - f·ceis, porÈm - OlÌmpicos:
> >
> >
> >1 ) Escrevendo a sucess“o dos n™meros naturais de 1 a 10^n quantos
> >"algarismos" escrevemos ?
> >2 ) Prove que em qualquer triangulo o "raio" do circulo circunscrito n“o 
>È
> >menor que o "diametro" do circulo inscrito.
> >3)  Seja ABC um triangulo. Do vÈrtice A traÁa-se um segmento AD ("D" est· 
>em
> >BC)tal que BD=n*DC; do VÈrtice B traÁa-se um segmento BE ( "E" est· em
> >AC)tal que CE = n*EA e, finalmente, do VÈrtice C traÁa-se um segmento CF 
>(
> >"F" est· em BC) tal que CF = n*FB. ApÛs esta construÁ“o surge um 
>tri’ngulo
> >na regi“o central  que n“o tem ponto em comum com o tri’ngulo ABC. Qual a
> >·rea deste tri’ngulo ( em funÁ“o de "n" ) ? A ·rea do Tri’ngulo ABC È 1.
> >
>
>Caros amigos: como a solucao de 1) ja apareceu, vamos comentar as
>solucoes de 2) e 3).
>
>2) Nao eh um problema facil. Existem diversas maneiras de chegar a
>esse interessante resultado, mas sao todas bastante trabalhosas.
>Para dar logo um "tiro de canhao", a distancia entre o incentro e o
>circuncentro de um triangulo eh igual a "sqrt(R^2 - 2Rr)", encontrada
>pela primeira vez por Euler. A partir dai, fica claro que
>R^2 - 2Rr >= 0 e que R >= 2r.
>
>3) Neste problema eh preciso trabalhar. Primeiro, devemos concluir que
>a area de (ABD) eh n/(n+1) e em seguida verificar que as areas de
>(ABD), (BCE) e (CAF) sao iguais.
>Seja MNP o triangulo central: M = AD X CF, N = AD X BE e P = BE X CF.
>Usando, por exemplo o teorema de Menelaus, calculamos a razao
>AN/AD = (n + 1)/(n^2 + n + 1)  que eh igual a AP/AE e CM/CF.
>o proximo passo eh concluir que as areas dos triangulos ANB, BPC e CMA
>eh igual a n/(n^2 + n + 1). Dai, subtraindo essas areas do triangulo
>ABC, chegamos que a area do triangulo MNP eh (n^2 - 2n + 1)/(n^2 + n + 1).
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