Re:Questão de Olimpiada

["Iolanda Brazão" <iolanda_marta@xxxxxxxxxxx>]

Prezado Prof Nicolau

Eu ouvi falar da "teoria dos grupos". Parece que foi elaborada por um 
matemático frances chamado Galois e que foi apresentada a Academia Francessa 
por Liouville, após a morte de Galois em um Duelo... Dizem que nesta teoria, 
generalizando o trabalho anterior de Abel, Galois conseguia responder quando 
um polinomio de Graus N é resolúvel por radicais. Li tudo isso no Livro 
"Romance das equações algébricas" de geraldo garbi. Lá tem muitas coisas 
interessantes ...
Não sei a teoria dos grupos,mmas esta conversa contigo muito me inspirou ... 
agora entendo como resolver com os parcos recursos do nível médio esta 
questão.
perdão pelos eros que cometi ao enunciar a questão. Se o Sr desejar posso 
remeter a solução que acredito ter vislumbrado

Sem mais

iolanda marta


>From: "Nicolau C. Saldanha" <nicolau@mula.mat.puc-rio.br>
>To: Iolanda Brazão <iolanda_marta@hotmail.com>
>Subject: Re:Questão de Olimpiada
>Date: Wed, 2 Jun 1999 12:30:44 -0300 (EST)
>
>On Mon, 31 May 1999, Iolanda Brazão wrote:
>
> > Prezado Prof Nicolau
> >
> > Pense nas casas como se fossem pontos geométricos e tudo se esclarece
> > ABC, CAB e BCA é uma mesma pintura.
>
>Desculpe, mas isto é uma questão de *enunciado*
>(ou seja: você não enunciou o problema direito)
>e você não pode esperar que "tudo se esclareça"
>pensando de uma ou outra forma.
>De qualquer forma, com este exemplo acho que ficou claro que você
>conta como sendo a mesma solução pinturas diferente obtidas
>quer via rotação quer via reflexão (coisa que deveria ter sido dita
>no enunciado) e portanto
>
>f(3) = p(p-1)(p-2)/6
>
>pois temos p escolhas para a primeira casa, p-1 para a segunda,
>p-2 para a terceira e devemos identificar pinturas sempre em grupos de 6.
>
>O problema que eu resolvi pode ser usado para começar este;
>defina h(n) = (p-1)^n + (-1)^n (p-1) como sendo o número de pinturas
>contadas com casas distinguíveis (atenção: h(1) = 0 e não h(1) = p,
>isto vai ser importante mais tarde).
>
>Poderíamos pensar que
>
>f(n) = h(n)/(2n)
>
>mas isto é *falso*, pois a f-pintura ABAB corresponde a apenas 2
>h-pinturas: ABAB e BABA. É preciso portanto contar para cada h-pintura
>quantas outras h-pinturas "amigas" (i.e., correspondentes à mesma
>f-pintura) existem: este número é sempre um divisor de 2n.
>
>Depois eu explico como se faz isso, não tenho tempo agora;
>f(n) é sempre um polinômio em p de grau n.
>A solução fica mais clara se pudermos falar do grupo diedral
>(o grupo de simetrias da figura) e seus subgrupos.
>Você conhece alguma coisa de teoria dos grupos?
>
>[]s, N.
>


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