Equação de grau 3

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

Um aluno me perguntou como resolver a equação de grau 3.
Achei que alguns de vocês gostariam de ver minha resposta.

...

Para resolver a equação de terceiro grau geral é mais complicado.
Vamos começar com uma equação do segundo grau x^2 + bx + c = 0.
Digamos que suas raízes sejam x1 e x2. Temos x1 + x2 = -b, x1x2 = c.
Seja y = (x1)^(1/3) + (x2)^(1/3). Temos

y^3 = ((x1)^(1/3) + (x2)^(1/3))^3 =
    = x1 + 3 (x1)^(2/3) (x2)^(1/3) + 3 (x1)^(1/3) (x2)^(2/3) + x2
    = (x1 + x2) + 3 (x1 x2)^(1/3) ((x1)^(1/3) + (x2)^(1/3))
    = -b + 3 c^(1/3) y

Ou seja, y é raiz de uma equação de grau 3 da forma y^3 + p y + q = 0.
Podemos reverter o processo para resolver a equação de grau 3
pelo truque acima.

Observe alias que é fácil reduzir uma equação de grau 3 geral
da forma z^3 + b z^2 + c z + d = 0 a outra da forma y^3 + p y + q = 0:
basta fazer y = z - (b/3).

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Aliás os problemas discutidos na reunião da PUC já estão na minha home
page; as soluções serão publicadas depois.

Nicolau

http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau