Re: Help me, please.... i'm a inocent child!

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Thu, 29 Apr 1999, Lucas wrote:

> Caro Nicolau,
> 
> Eu gostaria que vc explicasse duas coisas que eu jamais tive a oportunidade
> de aprender:
> 
> -como se resolve aquelas equações de terceiro grau (exemplo: problema 24 da
> XX OBM, nível 3, primeira fase)

Não tenho comigo a XX OBM, mas apostaria que esta equação tem uma raiz
``fácil'' a; depois de encontrada (por tentativas) basta dividir o
polinômio por (x-a) e resolver a equação de segundo grau que dai resulta.

Para resolver a equação de terceiro grau geral é mais complicado.
Vamos começar com uma equação do segundo grau x^2 + bx + c = 0.
Digamos que suas raízes sejam x1 e x2. Temos x1 + x2 = -b, x1x2 = c.
Seja y = (x1)^(1/3) + (x2)^(1/3). Temos

y^3 = ((x1)^(1/3) + (x2)^(1/3))^3 =
    = x1 + 3 (x1)^(2/3) (x2)^(1/3) + 3 (x1)^(1/3) (x2)^(2/3) + x2
    = (x1 + x2) + 3 (x1 x2)^(1/3) ((x1)^(1/3) + (x2)^(1/3))
    = -b + 3 c^(1/3) y

Ou seja, y é raiz de uma equação de grau 3 da forma y^3 + p y + q = 0.
Podemos reverter o processo para resolver a equação de grau 3
pelo truque acima.

Observe alias que é fácil reduzir uma equação de grau 3 geral
da forma z^3 + b z^2 + c z + d = 0 a outra da forma y^3 + p y + q = 0:
basta fazer y = z - (b/3).

> -como é possível, no jogo resta um, deixar apenas uma pecinha sobre o
> tabuleiro, e no centro? Como resolver os outros problemas que colocaste na
> tua home page, indicando os problemas que seriam debatidos no dia 11 de
> abril?

Estas respostas serão publicadas na minha home page.

> Por favor, me explique bem tudo para mim enterder perfeitamente.
> 
> Muito obrigado e desculpe encher o saco (acho que vou querer mais umas
> dicas, pois eu quero saber mais coisas para a OBM deste ano, a qual eu
> participarei no terceiro nível, pois estou no primeiro ano no colégio).

Boa sorte...

> Lucas

[]s, Nicolau