Re: Equação de grau 3

[Carlos Gustavo Tamm de Araujo Moreira <gugu@xxxxxxx>]

   Sobre a resolucao de equacoes do terceiro e do quarto graus ha' um artigo
de minha autoria na Revista do Professor de Matematica numero 25,paginas 23
a 28.A equacao do quarto grau pode ser resolvida com uma ideia semelhante,
comecando com uma equacao do terceiro grau x^3+bx^2+c^x+d=0,cujas raizes
x1,x2 e x3 satisfazem x1+x2+x3=-b,x1x2+x1x3+x2x3=c,x1x2x3=-d,e fazendo
y=(x1)^(1/2)+(x2)^(1/2)+(x3)^(1/2),e teremos 
y^2=x1+x2+x3+2((x1x2)^(1/2)+(x1x3)^(1/2)+(x2x3)^(1/2)),donde
((y^2+b)/2)^2=x1x2+x1x3+x2x3+2(x1x2x3)^(1/2)((x1)^(1/2)+(x2)^(1/2)+(x3)^(1/2))
,logo ((y^2+b)/2)^2=c+2(-d)^(1/2)y,e portanto y satisfaz a equacao
y^4+2by^2-8(-d)^(1/2)y+(b^2-4c)=0.
  Assim,y e' raiz de uma equacao de grau 4 da forma y^4+p.y^2+q.y+r=0.
Podemos reverter o processo para resolver a equacao de grau 4 pelo truque
acima(sabendo previamente como resolver equacoes de grau 3...).
Observe ainda que e' facil reduzir uma equacao de grau 4 geral da forma 
z^4+b.z^3+c.z^2+d=0 a outra da forma y^4+p.y^2+q.y+r=0,fazendo z=y-(b/4).
(Alias,na solucao que o Nicolau mencionou abaixo a substituicao a ser feita
e' z=y-(b/3) e nao y=z-(b/3).)
   Abracos,
           Carlos Gustavo Moreira(Gugu)

>
>Um aluno me perguntou como resolver a equação de grau 3.
>Achei que alguns de vocês gostariam de ver minha resposta.
>
>...
>
>Para resolver a equação de terceiro grau geral é mais complicado.
>Vamos começar com uma equação do segundo grau x^2 + bx + c = 0.
>Digamos que suas raízes sejam x1 e x2. Temos x1 + x2 = -b, x1x2 = c.
>Seja y = (x1)^(1/3) + (x2)^(1/3). Temos
>
>y^3 = ((x1)^(1/3) + (x2)^(1/3))^3 =
>    = x1 + 3 (x1)^(2/3) (x2)^(1/3) + 3 (x1)^(1/3) (x2)^(2/3) + x2
>    = (x1 + x2) + 3 (x1 x2)^(1/3) ((x1)^(1/3) + (x2)^(1/3))
>    = -b + 3 c^(1/3) y
>
>Ou seja, y é raiz de uma equação de grau 3 da forma y^3 + p y + q = 0.
>Podemos reverter o processo para resolver a equação de grau 3
>pelo truque acima.
>
>Observe alias que é fácil reduzir uma equação de grau 3 geral
>da forma z^3 + b z^2 + c z + d = 0 a outra da forma y^3 + p y + q = 0:
>basta fazer y = z - (b/3).
>
>----
>
>Aliás os problemas discutidos na reunião da PUC já estão na minha home
>page; as soluções serão publicadas depois.
>
>Nicolau
>
>http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau
>
>