Re: carta

["Nicolau C. Saldanha" <nicolau@xxxxxxxxxxxxxxxxxxx>]

On Thu, 11 Feb 1999, João Linneu wrote:

> Caro prof. Nicolau C Saldanha
> 
> Sou professor de Matemática aposentado, vou completar, no próximo dia 6 de março 80 anos.. Para passar o dia costumo perambular pela Internet Há alguns dias descobri a sua brilhante "pagina". O motivo da minha mensagem tem origem no problema 154 (Revista RPM). Que não conseguir solucionar. Vou resumir o que conseguir elaborar:
> 
> 1. Sejam Po, P1, P2 , P3 vértice de um quadrado unitário.
> 
> 2 Seja S sistema cartesiano ortogonal : P0 : origem, P1 : ponto unidade
> 
> 3 Para k inteiro ³ 0, tem-se : Pk+4 = ( Pk + Pk+1)/2
> 
> 4 Indicaremos com Qk o quadrilátero [PkPk+1Pk+2Pk+3]
> 
> 5 Ak = Int(Qk)
> 
> 6 Prova-se : Qk É Qk+1 , donde Ak É Ak+1
> 
> 7 Donde : Existe um único ponto P tal que : Ç Ak = { P }
> 
> 
> Seja : Xi = (1/2)3i+1 , i =0,1,2,3....
> 
> Indicando com S = ( si ) a série geométrica pela P.G ( Xi )
> 
> Tem-se S = 4/7
> 
> Sejam Di = ( si , si ) Î [ P0P2 ] Þ lim Di = (4/7 , 4/7)
> 
> Falta provar: [(P0P2] Ç Ak ¹ { }, k = 0,1,2,3...
> 
> Falta provar: Dk Î Ak , k = 0,1,2,3....
> 
> ( ? ) Donde : P = D = (4/7, 4/7) . 
> 
> Consideremos as duas sequencias:
> 
> X = (xi ) = ( 0,1,1,0 , .... ), i = 0.1.2.3 ..
> 
> Y = (yi ) = ( 0,0,1,1, ..... ), i = 0.1.2.3 ....
> 
> e, as condições: xk+4 = ( xk + xk+1 )/2 , k=0,1,2,3....
> 
> yk+4 = ( yk + yk+1 )/2 , k=0,1,2,3..... 
> 
> Observando que : X = Y - { yo } e, supondo que uma das duas admita limite, podemos concluir: lim X = lim Y = l . 
> 
> Usando o software Basic cheguei ao resultado: lim X = lim y = 4/7. Resultado que me agradou, mas gostaria de obter o resultado por via "honesta", i.é , usando "matemática"
> 
> Não querendo abusar gostaria de obter uma sugestão sua.
> 
> Com um abraço amigo, Linneu
> 
> João Linneu do Amaral Prado
> 
> Rua José Bernardi, 27 Jau . SP Meu e mail : joaolinneu@netsite.com.br
> 
> 17209170
> 
> 

Tudo o que você diz é correto, e parece-me que sua única dificuldade
é demonstrar que as seqs x_k e y_k efetivamente convergem para os valores
que você encontrou "experimentalmente". É possível dar uma fórmula
mais ou menos explícita para xk e yk usando recorrências.
Temos
               x_k = a_0 + a_1 b_1^k + a_2 b_2^k + a_3 b_3^k

onde b_0 = 1, b_1, b_2 3 b_3 são as raízes da eq polinomial

X^4 = (1+X)/2,

com valores aproximados de

b_1 = -.6477988713,
b_2 = -.1761005644 - .8607166186 I,
b_3 = -.1761005644 + .8607166186 I.

Como os módulos destas raizes são menores do que 1,
o limite de x_k é a_0.
Os valores de a_0, a_1, a_2, a_3 podem ser facilmente encontrados
a partir dos valores de x_0, x_1, x_2, x_3.

Mudando de assunto, gostaria de fazer um convite:
há um grupo de discussão de problemas de matemática elementar chamado 

obm-rj@mat.puc-rio.br

Participam desta lista alunos e professores.
Vou enviar seu nome para o majordomo (o programa que administra a lista)
e você deve receber um convite em inglês, automaticamente gerado
pelo majordomo e (espera-se) auto-explicativo.
Em caso de dúvida, escreva para mim.

[]s, N.